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Ein selbstadjungierter Operator ist ein linearer Operator mit besonderen Eigenschaften. Operatoren und insbesondere selbstadjungierte Operatoren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Der selbstadjungierte Operator ist eine Verallgemeinerung der selbstadjungierten Matrix.

Definition |

In diesem Abschnitt wird die Definition des selbstadjungierten Operators angeführt. Im ersten Abschnitt wird sie nur für beschränkte Operatoren gegeben und im zweiten dann auch für unbeschränkte. Da beschränkte Operatoren immer auf dem ganzen Vektorraum definiert werden können, ist der beschränkte selbstadjungierte Operator ein Spezialfall des unbeschränkten selbstadjungierten Operators.

Beschränkte Operatoren |

Sei (H,⟨.,.⟩){displaystyle (H,langle .,.rangle )} ein Hilbertraum bestehend aus dem Vektorraum H{displaystyle H} und dem Skalarprodukt ⟨⋅,⋅⟩{displaystyle langle cdot ,cdot rangle } und sei T:H→H{displaystyle Tcolon Hto H} ein beschränkter linearer Operator. Falls T{displaystyle T} die Gleichung

⟨Tx,y⟩=⟨x,Ty⟩{displaystyle langle Tx,yrangle =langle x,Tyrangle }

erfüllt, heißt er selbstadjungiert.^[1]

Unbeschränkte Operatoren |

Sei (H,⟨.,.⟩){displaystyle (H,langle .,.rangle )} ein Hilbertraum bestehend aus dem Vektorraum H{displaystyle H} und dem Skalarprodukt ⟨⋅,⋅⟩{displaystyle langle cdot ,cdot rangle } und sei T:D(T)→H{displaystyle Tcolon D(T)to H} ein dicht definierter Operator. Sei D(T∗){displaystyle D(T^{*})} der Raum aller y∈H{displaystyle yin H}, so dass das lineare Funktional

x↦⟨Tx,y⟩{displaystyle xmapsto langle Tx,yrangle }

stetig ist. Dieses Funktional hat den Definitionsbereich D(T){displaystyle D(T)}, ist also dicht definiert in H{displaystyle H}. Folglich besitzt es eine eindeutige stetige Fortsetzung auf ganz H{displaystyle H}. Nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz existiert ein eindeutig bestimmtes Element T∗y∈H{displaystyle T^{*}yin H}, so dass

⟨Tx,y⟩=⟨x,T∗y⟩{displaystyle langle Tx,yrangle =langle x,T^{*}yrangle }

für alle x∈H{displaystyle xin H} gilt. Der Operator T∗{displaystyle T^{*}} mit dem Definitionsbereich D(T∗){displaystyle D(T^{*})} ist der zu T{displaystyle T} eindeutig bestimmte adjungierte Operator.

Der Operator T{displaystyle T} heißt nun selbstadjungiert, falls T=T∗{displaystyle T=T^{*}} und D(T)=D(T∗){displaystyle D(T)=D(T^{*})} gelten, also falls der Operator T{displaystyle T} mit seinem adjungierten Operator T∗{displaystyle T^{*}} und die entsprechenden Definitionsbereiche übereinstimmen.^[2]

Geschichte |

John von Neumann, der 1929 die Theorie der unbeschränkten Operatoren begründete, war auch der erste, der die Notwendigkeit erkannte, zwischen symmetrischen und selbstadjungierten Operatoren zu unterscheiden. Denn nur für die letzteren kann eine Spektralzerlegung, wie sie im letzten Abschnitt dieses Artikels beschrieben wird, gezeigt werden. Von Neumann nannte symmetrische Operatoren hermitesch. Er stellte fest, dass es unter anderem für die Spektralzerlegung wichtig sei, dass ein Operator keine symmetrische Erweiterung zulässt und nannte diese Klasse von Operatoren maximal hermitesch. Jedoch ist diese Forderung für den Spektralsatz, der selbstadjungierte Operatoren voraussetzt, noch nicht hinreichend. Von Neumann nannte auf Anregung Erhard Schmidts selbstadjungierte Operatoren hypermaximal. Der Begriff selbstadjungierter Operator wurde von Marshall Harvey Stone geprägt.^[3]

Verwandte Objekte |

Selbstadjungierte Matrix |

Sei K∈{R,C}{displaystyle mathbb {K} in {mathbb {R} ,mathbb {C} }} der reelle oder komplexe Zahlenkörper und sei ⟨⋅,⋅⟩{displaystyle langle cdot ,cdot rangle } ein Skalarprodukt auf Kn,{displaystyle mathbb {K} ^{n},} dann ist (Kn,⟨⋅,⋅⟩){displaystyle (mathbb {K} ^{n},langle cdot ,cdot rangle )} ein Hilbertraum. Eine Matrix A{displaystyle A} heißt selbstadjungiert, wenn

⟨Ay,x⟩=⟨y,Ax⟩{displaystyle langle Ay,xrangle =langle y,Axrangle }

für alle x,y∈Kn{displaystyle x,yin mathbb {K} ^{n}} gilt. Die Matrix A{displaystyle A} wird hier als lineare Abbildung auf dem Kn{displaystyle mathbb {K} ^{n}} aufgefasst. Da A{displaystyle A} zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen abbildet, ist A{displaystyle A} beschränkt daher stetig und somit auch dicht definiert. Also ist eine selbstadjungierte Matrix auch ein selbstadjungierter Operator. Betrachtet man den Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} mit seinem Standardskalarprodukt, so entsprechen die symmetrischen Matrizen den selbstadjungierten. Im Fall des Cn{displaystyle mathbb {C} ^{n}} mit dem entsprechenden kanonischen Skalarprodukt sind die hermiteschen Matrizen die selbstadjungierten.

Symmetrischer Operator |

Ein Operator T:D(T)→H{displaystyle T:D(T)to H} heißt symmetrisch, falls

⟨Ty,x⟩=⟨y,Tx⟩{displaystyle langle Ty,xrangle =langle y,Txrangle }

für alle x,y∈D(T){displaystyle x,,yin D(T)} gilt. Im Gegensatz zum selbstadjungierten Operator wird hier nicht gefordert, dass der Operator T{displaystyle T} dicht definiert sein muss (das ist in der Literatur aber nicht einheitlich). Ist T{displaystyle T} dicht definiert (und damit der adjungierte Operator wohl definiert), so ist T{displaystyle T} genau dann symmetrisch wenn T⊆T∗{displaystyle Tsubseteq T^{*}} gilt. Für beschränkte Operatoren fallen die Begriffe selbstadjungiert und symmetrisch zusammen. Daher sind symmetrische, nicht selbstadjungierte Operatoren immer unbeschränkt. Außerdem besagt der Satz von Hellinger-Toeplitz, dass jeder symmetrische Operator, der auf ganz H{displaystyle H} definiert ist, stetig und damit selbstadjungiert ist.

Wesentlich selbstadjungierter Operator |

Ein Operator T:D(T)→H{displaystyle T:D(T)to H} heißt wesentlich selbstadjungiert, falls T{displaystyle T} symmetrisch, dicht definiert und seine Abschließung selbstadjungiert ist. Einen wesentlich selbstadjungierten Operator kann man also immer zu einem selbstadjungierten Operator fortsetzen.

Beispiele |

Symmetrische Matrix |

Eine symmetrische Matrix A∈Rn×n{displaystyle Ain mathbb {R} ^{ntimes n}} kann als Operator A:Rn→Rn{displaystyle A:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}} verstanden werden. Bezüglich des Standardskalarproduktes ist jede symmetrische Matrix eine selbstadjungierte Matrix beziehungsweise ein selbstadjungierter Operator.

Der Operator -i ^d/_dx |

Ist ein Operator beschränkt, so sind die Begriffe symmetrischer Operator, wesentlich selbstadjungierter Operator und selbstadjungierter Operator wie erwähnt äquivalent. Bei unbeschränkten Operatoren impliziert zwar die Selbstadjungiertheit die Symmetrie, aber die Umkehrung gilt nicht. Ein Gegenbeispiel gibt das folgende Paar:

1. Im Folgenden wird der Hilbertraum C∞(]0,1[)∩L2(]0,1[){displaystyle C^{infty }(]0,1[)cap L^{2}(]0,1[)} und der Differentialoperator p1:=−iddx=1iddx{displaystyle p_{1}:=-{rm {i}},{tfrac {rm {d}}{{rm {d}}x}}={tfrac {1}{rm {i}}},{tfrac {rm {d}}{{rm {d}}x}}} mit den dirichletschen Randbedingungen ψ(0)=ψ(1)=0{displaystyle psi (0)=psi (1)=0} betrachtet.


2. Und dessen Erweiterung p2,{displaystyle p_{2},} bei der man nur „Periodizität“ fordert, ψ(1)=ψ(0){displaystyle psi (1)=psi (0)}.

Aus der Gleichungskette

⟨u,piv⟩L2−⟨piu,v⟩L2=∫01u(x)¯⋅piv(x)−piu(x)¯⋅v(x)dx=−i⋅(u¯(1)⋅v(1)−u¯(0)⋅v(0))=0{displaystyle langle u,p_{i}vrangle _{L^{2}}-langle p_{i}u,vrangle _{L^{2}}=int _{0}^{1}{overline {u(x)}}cdot p_{i}v(x)-{overline {p_{i}u(x)}}cdot v(x)mathrm {d} x=-{rm {i}}cdot left({overline {u}}(1)cdot v(1)-{overline {u}}(0)cdot v(0)right)=0}

folgt, dass die Operatoren pi{displaystyle p_{i}} für i∈{1,2}{displaystyle iin {1,2}} symmetrisch sind. Jedoch ist nur der Operator p2{displaystyle p_{2}} selbstadjungiert, denn im ersten Fall wird der Definitionsbereich in unnötiger Weise eingeschränkt. Er besitzt dann gar keine Eigenfunktionen mehr, weil diese alle von der Form exp⁡(iλn⋅x){displaystyle exp(ilambda _{n}cdot x)} sind, also die geforderte Bedingung ψ(0)=0{displaystyle psi (0)=0} verletzen würden.

Laplace-Operator |

Der Laplace-Operator Δ:D(Δ)→L2(Rn){displaystyle Delta colon D(Delta )to L^{2}(mathbb {R} ^{n})} ist ein unbeschränkter Operator. Er ist bezüglich des L2{displaystyle L^{2}}-Skalarproduktes selbstadjungiert. Das heißt, er ist symmetrisch bezüglich dieses Skalarprodukts, was

∫RnΔf(x)g(x)dx=∫Rnf(x)Δg(x)dx{displaystyle int _{mathbb {R} ^{n}}Delta f(x)g(x)mathrm {d} x=int _{mathbb {R} ^{n}}f(x)Delta g(x)mathrm {d} x}

für alle f,g∈D(Δ){displaystyle f,,gin D(Delta )} bedeutet, und ist dicht definiert. Die Ableitung ist hier im schwachen Sinn zu verstehen. Somit gilt für den Definitionsbereich

D(Δ)={u∈L2(Rn):Δu∈L2(Rn)}.{displaystyle D(Delta )={uin L^{2}(mathbb {R} ^{n}):Delta uin L^{2}(mathbb {R} ^{n})}.}

Dies entspricht dem Sobolev-Raum H2(Rn){displaystyle H^{2}(mathbb {R} ^{n})} der quadratintegierbaren und zweimal schwach differenzierbaren Funktionen, dieser liegt dicht in L2(Rn){displaystyle L^{2}(mathbb {R} ^{n})}. Die Symmetrie des Laplace-Operators folgt aus der greenschen Formel.

Multiplikationsoperator |

Sei (Ω,Σ,μ){displaystyle (Omega ,Sigma ,mu )} ein Maßraum und f:Ω→R{displaystyle f:Omega to mathbb {R} } eine messbare Funktion. Der Multiplikationsoperator Mf:D(Mf)→L2(μ){displaystyle M_{f}colon D(M_{f})to L^{2}(mu )} mit D(Mf)={x∈L2(μ):f⋅x∈L2(μ)}⊂L2(μ){displaystyle D(M_{f})={xin L^{2}(mu ):fcdot xin L^{2}(mu )}subset L^{2}(mu )} ist definiert durch

x↦Mfx:=f⋅x.{displaystyle xmapsto M_{f}x:=fcdot x.}

Dieser Operator ist unbeschränkt und dicht definiert, denn für Ωn:={ω∈Ω:|f(ω)|≤n}{displaystyle Omega _{n}:={omega in Omega :|f(omega )|leq n}} enthält D(Mf){displaystyle D(M_{f})} alle L2{displaystyle L^{2}}-Klassen, die außerhalb von Ωn{displaystyle Omega _{n}} verschwinden und wegen Ω=⋃nΩn{displaystyle textstyle Omega =bigcup _{n}Omega _{n}} ist D(Mf)⊂L2(μ){displaystyle D(M_{f})subset L^{2}(mu )} dicht. Außerdem ist Mf{displaystyle M_{f}} bezüglich des L2{displaystyle L^{2}}-Skalarproduktes symmetrisch. Der Operator ist auch selbstadjungiert. Da für einen symmetrischen Operator nämlich Mf⊂Mf∗{displaystyle M_{f}subset M_{f}^{*}} gilt, was D(Mf)⊂D(Mf∗){displaystyle D(M_{f})subset D(M_{f}^{*})} und Mf∗|D(Mf)=Mf{displaystyle M_{f}^{*}|_{D(M_{f})}=M_{f}} bedeutet, muss für die Selbstadjungiertheit nur noch D(Mf∗)⊂D(Mf){displaystyle D(M_{f}^{*})subset D(M_{f})} gezeigt werden. Sei χn{displaystyle chi _{n}} die charakteristische Funktion von Ωn{displaystyle Omega _{n}}, für z∈D(Mf){displaystyle zin D(M_{f})} und x∈D(Mf∗){displaystyle xin D(M_{f}^{*})} gilt

⟨z,χnMf∗x⟩L2=⟨χnz,Mf∗x⟩L2=⟨Mf(χnz),x⟩L2=⟨fχnz,x⟩L2.{displaystyle langle z,chi _{n}M_{f}^{*}xrangle _{L^{2}}=langle chi _{n}z,M_{f}^{*}xrangle _{L^{2}}=langle M_{f}(chi _{n}z),xrangle _{L^{2}}=langle fchi _{n}z,xrangle _{L^{2}}.}

Das heißt χnMf∗x=χnfx{displaystyle chi _{n}M_{f}^{*}x=chi _{n}fx} gilt fast überall. Da χn→1{displaystyle chi _{n}to 1} punktweise konvergiert, gilt Mf∗x=fx{displaystyle M_{f}^{*}x=fx} fast überall. Da nun Mf∗x=fx{displaystyle M_{f}^{*}x=fx} in L2{displaystyle L^{2}} liegt ist x∈D(Mf){displaystyle xin D(M_{f})}, was D(Mf)=D(Mf∗){displaystyle D(M_{f})=D(M_{f}^{*})} zeigt und somit die Selbstadjungiertheit beweist.

Kriterien |

Für einen in einem Hilbertraum (H,⟨.,.⟩){displaystyle (H,langle .,.rangle )} dicht definierten Operator T:D(T)→H{displaystyle Tcolon D(T)to H} gibt es hinsichtlich der Frage der Selbstadjungiertheit folgende immer wieder genannte Kriterien^[4][5][6].

Erstes Kriterium |

T{displaystyle T} ist dann und nur dann selbstadjungierter Operator in H{displaystyle H}, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

1. Es gilt T=T∗=T∗∗{displaystyle T=T^{*}=T^{**}}.

Zweites Kriterium |

T{displaystyle T} ist dann und nur dann selbstadjungierter Operator in H{displaystyle H}, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. 
   T{displaystyle T} ist symmetrisch.


2. 
   T{displaystyle T} ist abgeschlossen.


3. Die Nullräume der beiden Operatoren T∗−i⋅IdH{displaystyle T^{*}-mathrm {i} cdot Id_{H}} und T∗+i⋅IdH{displaystyle T^{*}+mathrm {i} cdot Id_{H}} sind gleich {0}{displaystyle {0}}.

Für die in der zuletzt genannten Bedingung auftretenden Nullräume betrachtet man oft deren Hilbertraumdimensionen. Diese nennt man im Falle eines symmetrischen Operators T{displaystyle T} auch dessen Defektindizes. Die zuletzt genannte Bedingung lässt sich daher auch so ausdrücken, dass die Defektindizes von T{displaystyle T} gleich 0 sind.

Drittes Kriterium |

Die Bedingungen 2 und 3 des zweiten Kriteriums lassen sich zu einer einzigen umdeuten und auf diesem Wege erhält man hinsichtlich der Frage der Selbstadjungiertheit von T{displaystyle T} ein weiteres gleichwertiges Kriterium:

T{displaystyle T} ist dann und nur dann selbstadjungierter Operator in H{displaystyle H}, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. 
   T{displaystyle T} ist symmetrisch.


2. Die Bildräume der beiden Operatoren T−i⋅IdH{displaystyle T-mathrm {i} cdot Id_{H}} und T+i⋅IdH{displaystyle T+mathrm {i} cdot Id_{H}} sind gleich H{displaystyle H}.

Viertes Kriterium |

Das vierte Kriterium zeigt, dass die Selbstadjungiertheit eines dicht definierten Operators im Wesentlichen durch die Lage seines Spektrums innerhalb der reellen Zahlen bestimmt wird:

T{displaystyle T} ist dann und nur dann selbstadjungierter Operator in H{displaystyle H}, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. 
   T{displaystyle T} ist symmetrisch.


2. Das Spektrum von T{displaystyle T} besteht allein aus reellen Zahlen, also σ(T)⊂R{displaystyle sigma (T)subset mathbb {R} }.

Eigenschaften |

Sei T{displaystyle T} ein dicht definierter Operator auf dem Hilbertraum (H,⟨.,.⟩),{displaystyle (H,langle .,.rangle ),}

• dann ist T∗T{displaystyle T^{*}T} ein selbstadjungierter Operator mit ⟨Tx,x⟩≥0.{displaystyle langle Tx,xrangle geq 0.}
  

Sei T{displaystyle T} ein selbstadjungierter Operator auf dem Hilbertraum (H,⟨.,.⟩).{displaystyle (H,langle .,.rangle ).}

• Für das Spektrum σ(T){displaystyle sigma (T)} von T{displaystyle T} gilt σ(T)⊂R.{displaystyle sigma (T)subset mathbb {R} .} Es gibt also keine Spektralwerte, die echte komplexe Zahlen sind. Insbesondere hat eine selbstadjungierte Matrix nur reelle Spektral- beziehungsweise Eigenwerte.


• Ein Operator T{displaystyle T} ist positiv, das heißt, es gilt ⟨Tx,x⟩≥0{displaystyle langle Tx,xrangle geq 0} für alle x∈D(T){displaystyle xin D(T)} genau dann, wenn für das Spektrum σ(T){displaystyle sigma (T)} die Inklusion σ(T)⊂[0,∞]{displaystyle sigma (T)subset [0,infty ]} gilt.


• Falls ⟨Tx,x⟩≥0{displaystyle langle Tx,xrangle geq 0} für alle x∈H{displaystyle xin H} gilt, so existiert ein selbstadjungierter Operator B{displaystyle B} mit ⟨Bx,x⟩≥0{displaystyle langle Bx,xrangle geq 0} für alle x∈H{displaystyle xin H}, so dass B∘B=T{displaystyle Bcirc B=T} gilt.

Friedrichssche Erweiterung |

Sei (H,⟨,⟩H){displaystyle (H,langle ,rangle _{H})} ein Hilbertraum und T:D(T)→H{displaystyle Tcolon D(T)to H} ein dicht definierter halbbeschränkter Operator. Für einen Operator T{displaystyle T} bedeutet halbbeschränkt zu sein, dass der Operator entweder die Ungleichung ⟨Tx,x⟩H≥C‖x‖H2{displaystyle langle Tx,xrangle _{H}geq C|x|_{H}^{2}} oder die Ungleichung ⟨Tx,x⟩H≤C‖x‖H2{displaystyle langle Tx,xrangle _{H}leq C|x|_{H}^{2}} für ein C∈R{displaystyle Cin mathbb {R} } und für alle x∈D(T){displaystyle xin D(T)} erfüllt. Dann existiert zu T{displaystyle T} eine selbstadjungierte Erweiterung von T{displaystyle T}, die derselben Abschätzung genügt.

Zu beachten ist, dass bei einem halbbeschränkten Operator T{displaystyle T} der Ausdruck ⟨Tx,x⟩H{displaystyle langle Tx,xrangle _{H}} reellwertig sein muss, da sonst die Ordnungsrelationen ≥{displaystyle geq } und ≤{displaystyle leq } nicht definiert sind; und Operatoren, für die ⟨Tx,x⟩H∈R{displaystyle langle Tx,xrangle _{H}in mathbb {R} } für alle x∈H{displaystyle xin H} gilt, sind symmetrisch.

Sei T:D(A)→H{displaystyle Tcolon D(A)to H} ein abgeschlossener und dicht definierter Operator. Dann lässt sich aus der Friedrichsschen Erweiterung folgern, dass T∗T:{x∈D(T):Tx∈D(T∗)}→H{displaystyle T^{*}Tcolon {xin D(T):Txin D(T^{*})}to H} dicht definiert und selbstadjungiert ist.

Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren |

Spektralzerlegung |

Sei (H,⟨.,.⟩H){displaystyle (H,langle .,.rangle _{H})} ein Hilbertraum und Σ{displaystyle Sigma } die borelsche σ-Algebra. Für jeden selbstadjungierten Operator T:D(T)→H{displaystyle T:D(T)to H} existiert ein eindeutiges Spektralmaß E:Σ→L(H,H){displaystyle Ecolon Sigma to L(H,H)}, so dass

⟨Tx,y⟩H=∫Rtd⟨Etx,y⟩H{displaystyle langle Tx,yrangle _{H}=int _{mathbb {R} }t,mathrm {d} langle E_{t},x,yrangle _{H}}

mit x∈D(T){displaystyle xin D(T)} und y∈H{displaystyle yin H} gilt. Diese Aussage ist der Spektralsatz für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren. Fordert man, dass die Operatoren beschränkt und selbstadjungiert oder gar kompakt und selbstadjungiert sind, so vereinfacht sich das Resultat. Das wird im Artikel Spektralsatz näher erläutert.

Multiplikationsoperator |

Sei H{displaystyle H} ebenfalls wieder ein Hilbertraum und sei T:H⊃D(T)→H{displaystyle Tcolon Hsupset D(T)to H} ein selbstadjungierter Operator. Dann existiert ein (im separablen Fall ein σ{displaystyle sigma }-endlicher) Maßraum (Ω,Σ,μ){displaystyle (Omega ,Sigma ,mu )}, eine messbare Funktion f:Ω→R{displaystyle fcolon Omega to mathbb {R} } sowie ein unitärer Operator U:H→L2(μ){displaystyle Ucolon Hto L^{2}(mu )} mit

1. 
   x∈D(T)⇔f⋅Ux∈L2(μ){displaystyle xin D(T)Leftrightarrow fcdot Uxin L^{2}(mu )} und


2. 
   UTU∗ϕ=f⋅ϕ{displaystyle UTU^{*}phi =fcdot phi } für ϕ∈{ϕ∈L2(μ):f⋅ϕ∈L2(μ)}{displaystyle phi in {phi in L^{2}(mu ):fcdot phi in L^{2}(mu )}}.

Im Wesentlichen ist also der Multiplikationsoperator ϕ↦f⋅ϕ{displaystyle phi mapsto fcdot phi } das einzige Beispiel eines selbstadjungierten Operators.

Literatur |

• Hans Cycon, Richard G. Froese, Werner Kirsch, Barry Simon: Schrödinger Operators. Springer, 1987


• 
  Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis. (= B. I.-Hochschultaschenbücher. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim [u. a.] 1971, ISBN 3-411-00296-4.  MR0463864
  


• Reinhold Meise, Dietmar Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis (= Vieweg Studium – Aufbaukurs Mathematik. Band 62). Vieweg Verlag, Braunschweig [u. a.] 1992, ISBN 3-528-07262-8.  MR1195130
  


• Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics. 4 Bände. Academic Press, 1978, 1980


• 
  Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8. Kap. 13


• 
  Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society, Providence RI 2009, ISBN 978-0-8218-4660-5, mat.univie.ac.at
  


• 
  Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 342–347. 
  

Einzelnachweise |

1. 
   ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 236–237. 
   


2. 
   ↑ Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 347–348.
   


3. 
   ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Kapitel VII.6. 
   


4. 
   ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 342–347. 
   


5. 
   ↑ Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis. (= B. I.-Hochschultaschenbücher. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim [u. a.] 1971, ISBN 3-411-00296-4, S. 158–159. 
   


6. 
   ↑ Reinhold Meise, Dietmar Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis (= Vieweg Studium – Aufbaukurs Mathematik. Band 62). Vieweg Verlag, Braunschweig [u. a.] 1992, ISBN 3-528-07262-8, S. 204 ff.