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Der Spektralradius ist ein Konzept in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis. Der Name erklärt sich dadurch, dass das Spektrum eines Operators in einer Kreisscheibe enthalten ist, deren Radius der Spektralradius ist.

Spektralradius von Matrizen |

Definition |

Der Spektralradius ρ{displaystyle rho } einer (n×n){displaystyle (ntimes n)}-Matrix A∈Cn×n{displaystyle Ain mathbb {C} ^{ntimes n}} ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts von A{displaystyle A}, das heißt, ρ{displaystyle rho } ist definiert durch

ρ(A):=max1≤i≤n|λi(A)|{displaystyle rho (A):=max limits _{1leq ileq n}|lambda _{i}(A)|}.

Dabei durchläuft λi{displaystyle lambda _{i}} die höchstens n{displaystyle n} verschiedenen Eigenwerte von A{displaystyle A}. Der Spektralradius wird auch mit spr⁡(A){displaystyle operatorname {spr} (A)} statt mit ρ(A){displaystyle rho (A)} notiert.

Eigenschaften |

Jede induzierte Matrixnorm von A{displaystyle A} ist mindestens so groß wie der Spektralradius. Ist nämlich λ{displaystyle lambda } ein Eigenwert zu einem Eigenvektor v{displaystyle v} von A{displaystyle A}, dann gilt:

‖A‖=supx≠0‖Ax‖‖x‖≥‖Av‖‖v‖=‖λv‖‖v‖=|λ|‖v‖‖v‖=|λ|{displaystyle |A|=sup _{xneq 0}{frac {|Ax|}{|x|}}geq {frac {|Av|}{|v|}}={frac {|lambda v|}{|v|}}=|lambda |{frac {|v|}{|v|}}=|lambda |}

Allgemeiner gilt diese Abschätzung für alle mit einer Vektornorm verträglichen Matrixnormen. Weiterhin gibt es zu jedem ϵ>0{displaystyle epsilon >0} mindestens eine induzierte Norm (die für verschiedene Matrizen A{displaystyle A} unterschiedlich sein kann), sodass

ρ(A)≤‖A‖<ρ(A)+ϵ{displaystyle rho (A)leq |A|<rho (A)+epsilon }

gilt. Ferner gilt für jede induzierte Matrixnorm:

ρ(A)=infn∈N‖An‖n=limn→∞‖An‖n{displaystyle rho (A)=inf _{nin mathbb {N} }{sqrt[{n}]{|A^{n}|}}=lim _{nto infty }{sqrt[{n}]{|A^{n}|}}}

Anwendungen |

Der Spektralradius ist beispielsweise bei Splitting-Verfahren von Bedeutung. Falls ρ(I−B−1A)<1{displaystyle rho left(I-B^{-1}Aright)<1} für eine invertierbare Matrix B∈Cn×n{displaystyle Bin mathbb {C} ^{ntimes n}} gilt, dann konvergiert die Iteration

xk+1=B−1(B−A)xk+B−1b{displaystyle x_{k+1}=B^{-1}left(B-Aright)x_{k}+B^{-1}b}

für jeden Startvektor x0{displaystyle x_{0}} gegen die exakte Lösung x∗{displaystyle x^{ast }} des linearen Gleichungssystems Ax=b{displaystyle Ax=b}.

Spektralradius in der Funktionalanalysis |

Definition |

Der Begriff des Spektralradius kann allgemeiner auch für beschränkte lineare Operatoren auf Banachräumen definiert werden. Für einen beschränkten linearen Operator A{displaystyle A} definiert man

ρ(A):=sup{|λ|:λ∈σ(A)}{displaystyle rho (A):=sup{|lambda |:lambda in sigma (A)}},

wobei σ(A){displaystyle sigma (A)} das Spektrum von A{displaystyle A} ist.

Eigenschaften |

Da das Spektrum abgeschlossen ist, wird das Supremum angenommen, es liegt also ein Maximum vor.

Außerdem kann man auch hier zeigen, dass

ρ(A)=limn→∞‖An‖n=infn∈N‖An‖n{displaystyle rho (A)=lim _{nto infty }{sqrt[{n}]{|A^{n}|}}=inf _{nin mathbb {N} }{sqrt[{n}]{|A^{n}|}}}

gilt, wobei ‖⋅‖{displaystyle |cdot |} hier die Operatornorm meint.

Insbesondere ist der Spektralradius eines Operators auch, wie im Endlichdimensionalen, nie größer als die Norm des Operators, d. h.:

ρ(A)≤‖A‖{displaystyle rho (A)leq |A|}

Ist A{displaystyle A} ein normaler Operator auf einem Hilbertraum, dann gilt immer Gleichheit.

Literatur |

• Stoer: Numerische Mathematik. Springer-Verlag, Berlin 2005, ISBN 3-540-21395-3.


• 
  Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.