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Der L^p-Ergodensatz, auch statistischer Ergodensatz genannt, ist ein zentraler Satz der Ergodentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das in dem Bereich zwischen Maßtheorie, Theorie dynamischer Systeme und Wahrscheinlichkeitstheorie anzusiedeln ist. Er beschäftigt sich damit, unter welchen Umständen bei der Iteration einer Abbildung die Mittelwerte über die Iterationen mit den Mittelwerten der Funktion übereinstimmen. Im Gegensatz zum individuellen Ergodensatz beschäftigt sich der Lp{displaystyle {mathcal {L}}^{p}}-Ergodensatz mit der Konvergenz im p-ten Mittel und nicht mit der fast sicheren Konvergenz. Der Satz wurde 1930/31 von John von Neumann bewiesen, jedoch erst 1932 veröffentlicht^[1]. Ein kompakter Beweis ist beispielsweise mittels des Hopf'schen Maximal-Ergodenlemmas und des individuellen Ergodensatzes möglich. Der Satz lässt sich auch allgemeiner auf Hilberträumen mit isometrischen Operatoren und der Normkonvergenz formulieren.

Aussage |

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P){displaystyle (Omega ,{mathcal {A}},P)} und T:Ω→Ω{displaystyle T:Omega to Omega } eine maßerhaltende Abbildung sowie I{displaystyle {mathcal {I}}} die σ-Algebra der T-invarianten Ereignisse. Sei Lp(Ω,A,P){displaystyle {mathcal {L}}^{p}(Omega ,{mathcal {A}},P)} der Raum aller p{displaystyle p}-fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe auch L^p-Raum), kurz mit Lp{displaystyle {mathcal {L}}^{p}} bezeichnet, sowie E⁡(g|S){displaystyle operatorname {E} (g|{mathcal {S}})} der bedingte Erwartungswert von g{displaystyle g} bezüglich der σ-Algebra S{displaystyle {mathcal {S}}}.

Ist p∈[1,∞){displaystyle pin [1,infty )}, dann gilt für alle f∈Lp{displaystyle fin {mathcal {L}}^{p}}, dass auch E⁡(f|I){displaystyle operatorname {E} (f|{mathcal {I}})} in Lp{displaystyle {mathcal {L}}^{p}} liegt und

limn→∞‖1n∑i=0n−1f∘Ti−E⁡(f|I)‖Lp=0{displaystyle lim _{nto infty }{biggl Vert }{frac {1}{n}}sum _{i=0}^{n-1}fcirc T^{i}-operatorname {E} (f|{mathcal {I}}){biggr Vert }_{{mathcal {L}}^{p}}=0}.

Hierbei bezeichnet ‖⋅‖Lp{displaystyle |cdot |_{{mathcal {L}}^{p}}} die L^p-Norm.

Ist I{displaystyle {mathcal {I}}} P-trivial (bzw. äquivalent dazu T{displaystyle T} eine ergodische Transformation), so gilt E⁡(f|I)=E⁡(f){displaystyle operatorname {E} (f|{mathcal {I}})=operatorname {E} (f)} und demnach

limn→∞‖1n∑i=0n−1f∘Ti−E⁡(f)‖Lp=0{displaystyle lim _{nto infty }{biggl Vert }{frac {1}{n}}sum _{i=0}^{n-1}fcirc T^{i}-operatorname {E} (f){biggr Vert }_{{mathcal {L}}^{p}}=0}.

Die Mittelwerte der iterierten Abbildungen konvergieren also im p-ten Mittel gegen den (bedingten) Erwartungswert.

Anwendung in der Stochastik |

Der Lp{displaystyle {mathcal {L}}^{p}}-Ergodensatz lässt sich wie folgt auf stochastische Prozesse anwenden: Dazu betrachtet man einen kanonischen Prozess X=(Xn)n∈N{displaystyle X=(X_{n})_{nin mathbb {N} }} auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P)=(EN,B(E)⊗E,P){displaystyle (Omega ,{mathcal {A}},P)=(E^{mathbb {N} },{mathcal {B}}(E)^{otimes E},P)}, wobei E{displaystyle E} ein polnischer Raum wie beispielsweise eine endliche oder abzählbar unendliche Menge oder der Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} ist. Die Transformation definiert man dann als den Shift τ:Ω→Ω{displaystyle tau :Omega to Omega }, der gegeben ist durch

τ((ωn)n∈N)=(ωn+1)n∈N{displaystyle tau ((omega _{n})_{nin mathbb {N} })=(omega _{n+1})_{nin mathbb {N} }}.

Für den stochastischen Prozess gilt also Xn(ω)=X0(τn(ω)){displaystyle X_{n}(omega )=X_{0}(tau ^{n}(omega ))} und (Ω,A,P,τ){displaystyle (Omega ,{mathcal {A}},P,tau )} ist genau dann ein maßerhaltendes dynamisches System, wenn X{displaystyle X} ein stationärer stochastischer Prozess ist.

Setzt man nun f=X0{displaystyle f=X_{0}}, wobei X0∈Lp{displaystyle X_{0}in {mathcal {L}}^{p}} sein soll, sowie τ=T{displaystyle tau =T}, so folgt, dass für stationäre Prozesse

limn→∞‖1n∑i=0n−1Xi−E⁡(X0|I)‖Lp=0{displaystyle lim _{nto infty }{biggl Vert }{frac {1}{n}}sum _{i=0}^{n-1}X_{i}-operatorname {E} (X_{0}|{mathcal {I}}){biggr Vert }_{{mathcal {L}}^{p}}=0}

gilt. Ist I{displaystyle {mathcal {I}}} wieder eine P-triviale σ-Algebra (bzw. τ{displaystyle tau } eine ergodische Transformation oder X{displaystyle X} ein ergodischer stochastischer Prozess), so folgt genauso wie oben, dass E⁡(X0|I)=E⁡(X0){displaystyle operatorname {E} (X_{0}|{mathcal {I}})=operatorname {E} (X_{0})} ist.

Einzelnachweise |

1. 
   ↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 454
   

Weblinks |

• D.V. Anosov: Von Neumann ergodic theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online). 
  

Literatur |

• 
  Manfred Einsiedler, Klaus Schmidt: Dynamische Systeme. Ergodentheorie und topologische Dynamik. Springer, Basel 2014, ISBN 978-3-0348-0633-6, doi:10.1007/978-3-0348-0634-3. 
  


• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.