P-triviale σ-Algebra
Eine P-triviale σ-Algebra ist in der Stochastik ein spezielles Mengensystem, das sich dadurch auszeichnet, dass jeder Teilmenge des Mengensystems (bzw. jedem Ereignis) die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 zugeordnet wird. Die Ereignisse sind also fast sicher oder fast unmöglich. P-triviale σ-Algebren treten in der Stochastik beispielsweise im Rahmen der 0-1-Gesetze auf. Auch in der Ergodentheorie finden sie Verwendung, beispielsweise bei der Frage, ob ein maßerhaltendes dynamisches System auch ergodisch ist.
Inhaltsverzeichnis
1 Definition
2 Elementare Beispiele
3 Anwendungsbeispiele
4 Eigenschaften
5 Literatur
Definition |
Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P){displaystyle (Omega ,{mathcal {A}},P)}. Eine σ-Algebra O⊂A{displaystyle {mathcal {O}}subset {mathcal {A}}} heißt eine P-triviale σ-Algebra, wenn für alle O∈O{displaystyle Oin {mathcal {O}}} gilt, dass entweder P(O)=0{displaystyle P(O)=0} oder P(O)=1{displaystyle P(O)=1} ist.
Elementare Beispiele |
- Die triviale σ-Algebra {Ω,∅}{displaystyle {Omega ,emptyset }} ist immer auch P-trivial. Dies folgt aus der Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes, da dort immer P(Ω)=1{displaystyle P(Omega )=1} und P(∅)=0{displaystyle P(emptyset )=0} gefordert wird.
- Sind zwei zueinander singuläre Wahrscheinlichkeitsmaße P1,P2{displaystyle P_{1},P_{2}} gegeben, so existiert eine disjunkte Zerlegung der Grundmenge. Es gilt also Ω=N1∪N2{displaystyle Omega =N_{1}cup N_{2}} und N1∩N2=∅{displaystyle N_{1}cap N_{2}=emptyset }, so dass P1(N1)=0{displaystyle P_{1}(N_{1})=0} und P2(N2)=0{displaystyle P_{2}(N_{2})=0}. Dann ist die σ-Algebra {Ω,∅,N1,N2}{displaystyle {Omega ,emptyset ,N_{1},N_{2}}} sowohl P1{displaystyle P_{1}}-trivial als auch P2{displaystyle P_{2}}-trivial. Aufgrund der elementaren Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten gilt nämlich P1(N2)=1{displaystyle P_{1}(N_{2})=1} und P2(N1)=1{displaystyle P_{2}(N_{1})=1}, die Wahrscheinlichkeiten der Grundmenge und der leeren Menge sind wieder durch die Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes gegeben.
Anwendungsbeispiele |
Meist ist der Beweis, dass ein Mengensystem P-trivial ist, nicht leicht zu führen, demnach tragen einige dieser Aussagen Eigennamen. Sie werden zu den 0-1-Gesetzen gezählt, da sie Aussagen darüber treffen, welche Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 eintreten. Klassische Beispiele sind:
- Das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz. Es besagt, dass die terminale σ-Algebra einer Folge von unabhängigen σ-Algebren P-trivial ist.
- Das Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage. Es besagt, dass die austauschbare σ-Algebra einer Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen P-trivial ist.
Eigenschaften |
Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P){displaystyle (Omega ,{mathcal {A}},P)} ist eine P-triviale σ-Algebra O⊂A{displaystyle {mathcal {O}}subset {mathcal {A}}} von jedem anderen Mengensystem M⊂A{displaystyle {mathcal {M}}subset {mathcal {A}}} unabhängig. Dies lässt sich mittels elementarer Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten herleiten.
Eine wichtige Schlussfolgerung daraus ist: Wenn O{displaystyle {mathcal {O}}} P-trivial ist, dann gilt für den bedingten Erwartungswert E(X|O)=E(X){displaystyle operatorname {E} (X|{mathcal {O}})=operatorname {E} (X)}, denn σ(X){displaystyle sigma (X)} und O{displaystyle {mathcal {O}}} sind voneinander unabhängig. Diese Schlussfolgerung findet beispielsweise Verwendung bei dem individuellen Ergodensatz und dem Lp-Ergodensatz.
Literatur |
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
