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Maßerhaltende Abbildungen, manchmal auch maßtreue Abbildungen genannt, sind Selbstabbildungen eines Wahrscheinlichkeitsraums, die das Wahrscheinlichkeitsmaß erhalten. Man spricht auch von maßerhaltenden dynamischen Systemen, insbesondere wenn man das Verhalten der Abbildung unter Iteration betrachtet.

Maßerhaltende Abbildungen sind das Thema der Ergodentheorie innerhalb der Theorie der dynamischen Systeme.

Definition |

Sei (X,Σ,P){displaystyle (X,Sigma ,P)} ein Wahrscheinlichkeitsraum, d. h., X{displaystyle X} sei eine Menge, Σ⊂P(X){displaystyle Sigma subset {mathcal {P}}(X)} die σ-Algebra der messbaren Mengen und P{displaystyle P} ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Eine messbare Abbildung

T : [0,1) → [0,1), x↦2xmod1{displaystyle xmapsto 2xmod 1} ist eine maßerhaltende Abbildung für das Lebesgue-Maß auf [0,1].

f:X→X{displaystyle fcolon Xto X}

heißt maßerhaltende Abbildung, wenn für alle A∈Σ{displaystyle Ain Sigma }

P(f−1(A))=P(A){displaystyle P(f^{-1}(A))=P(A)}

gilt.

Man beachte, dass für eine maßerhaltende Abbildung nicht notwendig P(f(B))=P(B){displaystyle P(f(B))=P(B)} für die messbaren Mengen B{displaystyle B} gelten muss, dass also nur Urbilder und nicht unbedingt Bilder messbarer Mengen dasselbe Maß haben. Das Bild rechts zeigt die Bernoulli-Abbildung (Winkelverdopplung) T(x)=2xmod1{displaystyle T(x)=2xmod 1}. Diese Abbildung ist maßerhaltend, zum Beispiel gilt für jedes Intervall T−1(a,b)=(a2,b2)∪(a+12,b+12){displaystyle T^{-1}(a,b)=({frac {a}{2}},{frac {b}{2}})cup ({frac {a+1}{2}},{frac {b+1}{2}})}, also

P(T−1(a,b))=b−a2+b−a2=b−a=P(a,b){displaystyle P(T^{-1}(a,b))={frac {b-a}{2}}+{frac {b-a}{2}}=b-a=P(a,b)}.

Trotzdem müssen Bildmengen nicht dasselbe Maß wie die Ursprungsmenge haben, zum Beispiel ist P(0,12)=0,5{displaystyle P(0,{frac {1}{2}})=0{,}5}, aber P(T(0,12))=P(0,1)=1{displaystyle P(T(0,{frac {1}{2}}))=P(0,1)=1}.

Beispiele |

Maßerhaltende Abbildungen |

• 
  X{displaystyle X} sei der Einheitskreis, Σ{displaystyle Sigma } die σ-Algebra der Borelmengen und P{displaystyle P} das gleichverteilte Wahrscheinlichkeitsmaß 12πdθ{displaystyle {frac {1}{2pi }}dtheta }. Jede Drehung des Einheitskreises ist eine maßerhaltende Abbildung.


• Die durch eine ganzzahlige unimodulare Matrix A∈GL(n,Z){displaystyle Ain GL(n,mathbb {Z} )} definierte Selbstabbildung f:Tn→Tn{displaystyle fcolon T^{n}to T^{n}} des n-dimensionalen Torus Tn=Rn/Zn{displaystyle T^{n}=mathbb {R} ^{n}/mathbb {Z} ^{n}} gegebene Abbildung ist maßerhaltend bzgl. des Wahrscheinlichkeitsmaßes 1(2π)ndθ1…dθn{displaystyle {frac {1}{(2pi )^{n}}}dtheta _{1}ldots dtheta _{n}}.


• Eine Intervall-Austausch-Abbildung ist maßerhaltend.

Maßerhaltende dynamische Systeme |

Eine wichtige Klasse von maßerhaltenden dynamischen Systemen bilden die stationären stochastischen Prozesse in diskreter Zeit. Dazu definiert man einen kanonischen Prozess (Ω,A,P)=(E×N,B(E)⊗E,P){displaystyle (Omega ,{mathcal {A}},P)=(E^{times mathbb {N} },{mathcal {B}}(E)^{otimes E},P)} und den Shift-Operator τ{displaystyle tau } als

τ((ωn)n∈N)=(ωn+1)n∈N{displaystyle tau ((omega _{n})_{nin mathbb {N} })=(omega _{n+1})_{nin mathbb {N} }}.

Dann ist Xn(ω)=X0(τn(ω)){displaystyle X_{n}(omega )=X_{0}(tau ^{n}(omega ))} und (Ω,A,P,τ){displaystyle (Omega ,{mathcal {A}},P,tau )} ist ein dynamisches System, das Aufgrund der Stationarität maßerhaltend ist.

Invarianten |

Eine die Chaotizität maßerhaltender Abbildungen messende Invariante ist die Kolmogorow-Sinai-Entropie.

Literatur |

• Peter Walters: Ergodic theory—introductory lectures (= Lecture Notes in Mathematics. Vol. 458). Springer, Berlin/New York, 1975.


• James R. Brown: Ergodic theory and topological dynamics (= Pure and Applied Mathematics. 70). Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York/London, 1976.


• H. Furstenberg: Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory. (= M. B. Porter Lectures). Princeton University Press, Princeton, N.J., 1981, ISBN 0-691-08269-3.


• Daniel J. Rudolph: Fundamentals of measurable dynamics. Ergodic theory on Lebesgue spaces. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1990, ISBN 0-19-853572-4.


• Ya. G. Sinaĭ: Topics in ergodic theory (= Princeton Mathematical Series. 44). Princeton University Press, Princeton, NJ, 1994, ISBN 0-691-03277-7.


• C. E. Silva: Invitation to ergodic theory (= Student Mathematical Library. 42). American Mathematical Society, Providence, RI, 2008, ISBN 978-0-8218-4420-5.


• Alexander S. Kechris: Global aspects of ergodic group actions (= Mathematical Surveys and Monographs. 160). American Mathematical Society, Providence, RI, 2010, ISBN 978-0-8218-4894-4.


• Steven Kalikow, Randall McCutcheon: An outline of ergodic theory (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 122). Cambridge University Press, Cambridge 2010, ISBN 978-0-521-19440-2.