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Eine Menge von Polygonen

Eine Menge ist ein Verbund, eine Zusammenfassung von einzelnen Elementen. Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik, mit ihrer Betrachtung beschäftigt sich die Mengenlehre.

Bei der Beschreibung einer Menge geht es ausschließlich um die Frage, welche Elemente in ihr enthalten sind. Es wird nicht danach gefragt, ob ein Element mehrmals enthalten ist oder ob es eine Reihenfolge unter den Elementen gibt. Eine Menge muss kein Element enthalten – es gibt genau eine Menge ohne Elemente, die „leere Menge“. In der Mathematik sind die Elemente einer Menge häufig Zahlen, Punkte eines Raumes oder ihrerseits Mengen. Das Konzept ist jedoch auf beliebige Objekte anwendbar: z. B. in der Statistik auf Stichproben, in der Medizin auf Patientenakten, am Marktstand auf eine Tüte mit Früchten.

Ist die Reihenfolge der Elemente von Bedeutung, dann spricht man von einer endlichen oder unendlichen Folge, wenn sich die Folgenglieder mit den natürlichen Zahlen aufzählen lassen (das erste, das zweite usw.). Endliche Folgen heißen auch Tupel. In einem Tupel oder einer Folge können Elemente auch mehrfach vorkommen. Ein Gebilde, das wie eine Menge Elemente enthält, wobei es zusätzlich auf die Anzahl der Exemplare jedes Elements ankommt, jedoch nicht auf die Reihenfolge, heißt Multimenge.

Inhaltsverzeichnis

1 Begriff und Notation von Mengen
- 1.1 Andere Schreibweisen
- 1.2 Mächtigkeit

2 Grundlegende Beziehungen zwischen Mengen
- 2.1 Gleichheit von Mengen und Extensionalität
  - 2.1.1 Gleichheit
  - 2.1.2 Extensionalität
- 2.2 Leere Menge
- 2.3 Nichtleere Menge
- 2.4 Teilmenge
- 2.5 Schnittmenge (Schnitt, auch „Durchschnitt“)
- 2.6 Vereinigung (Vereinigungsmenge)
- 2.7 Differenz und Komplement
- 2.8 Symmetrische Differenz
- 2.9 Kartesisches Produkt
- 2.10 Potenzmenge

3 Beispiele für Mengenoperationen

4 Weitergehende Begriffe

5 Literatur

6 Weblinks

7 Einzelnachweise

Begriff und Notation von Mengen |

Menge als gedankliche Zusammenfassung von Objekten

Der Begriff Menge geht auf Bernard Bolzano und Georg Cantor zurück. In Bolzanos Manuskripten aus den Jahren zwischen 1830 und 1848 heißt es: „Inbegriffe nun, bey welchen auf die Art, wie ihre Theile mit einander verbunden sind, gar nicht geachtet werden soll, an denen somit Alles, was wir an ihnen unterscheiden, bestimmt ist, sobald nur ihre Theile [selbst] bestimmt sind, verdienen es eben um dieser Beschaffenheit willen, mit einem eigenen Nahmen bezeichnet zu werden. In Ermangelung eines andern tauglichen Wortes erlaube ich mir das Wort Menge zu diesem Zwecke zu brauchen;“.^[1] Cantor beschrieb eine Menge „naiv“ als eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.^[2] Die Objekte der Menge heißen Elemente der Menge. Weder der Begriff „Menge“ noch der Begriff „Element“ werden im mathematischen Sinn definiert; sie werden auch nicht als oder in Axiomen definiert. Die moderne Mengenlehre und damit ein Großteil der Mathematik basiert auf den Zermelo-Fraenkel-Axiomen (oder: ZFA), Neumann-Bernays-Gödel-Axiomen oder anderen Axiomensystemen. Wir haben ein natürliches, intuitiv richtiges Verständnis für Mengen; allerdings führt der Begriff „die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten“ zu einem Widerspruch, der Russell’schen Antinomie; ebenso wie „die Menge aller Mengen“.

Eine Veranschaulichung des Mengenbegriffs, die Richard Dedekind zugeschrieben wird, ist das Bild eines Sackes, der gewisse (als Einzelne abgrenzbare) Dinge enthält. Nützlich ist diese Vorstellung zum Beispiel für die leere Menge: ein leerer Sack. Die leere Menge ist also nicht „nichts“, sondern der Inhalt eines Behältnisses, das keine der für es als Inhalt vorgesehenen Dinge enthält. Das „Behältnis“ selbst verweist nur auf die bestimmte zusammenzufassende Sorte und Art von Elementen. Diese Vorstellung hat aber ihre Grenzen. Ein Behältnis bleibt nämlich dasselbe, auch wenn man seinen Inhalt ändert. Dies ist bei Mengen anders: Diese ändern ihre Identität, wenn man neue Elemente hinzufügt oder bestehende entfernt. Insofern ist es besser, wenn man sich die Menge als „Inhalt eines Behältnisses“ vorstellt.

Eine Beispielmenge von Polygonen

Dieselbe Menge als Behältnis

Menge als Inhalt eines Behältnisses

Endliche Mengen können (insbesondere wenn sie relativ wenig Elemente haben) durch Aufzählen ihrer Elemente (aufzählende Mengenschreibweise) angegeben werden, etwa ${displaystyle M={{text{blau}},,{text{gelb}},,{text{rot}}}}$ , wobei es wie gesagt nicht auf eine Reihenfolge ankommt oder darauf, ob ein Element mehr als einmal genannt wird. Das heißt, es gilt beispielsweise ${displaystyle {{text{blau}},,{text{rot}},,{text{gelb}}}={{text{blau}},,{text{gelb}},,{text{rot}}}={{text{blau}},,{text{blau}},,{text{gelb}},,{text{rot}}}}$ .^[3]

Oft ist es praktisch oder prinzipiell (bei unendlichen Mengen) unmöglich, die Elemente einer Menge aufzuzählen. Es gibt aber eine andere Notation, in der die Elemente einer Menge durch eine Eigenschaft festgelegt werden, zum Beispiel ${displaystyle M={x,|,x,{text{ ist eine Grundfarbe}}}}$ . (Sprich: „M ist die Menge aller x für die gilt: ‚x ist eine Grundfarbe‘.“)

Daneben prägte Dedekind das Synonym des Systems, zu welchem er Elemente zusammenfasste. Diese Bezeichnung ist heute noch teilweise üblich, so nennt man eine „Menge von Vektoren“ auch kurz ein Vektorsystem.

Andere Schreibweisen |

Andere Schreibweisen für Mengen können als Abkürzungen für die intensionale Notation angesehen werden:

Die aufzählende Schreibweise ${displaystyle M={{text{blau}},,{text{gelb}},,{text{rot}}}}$ kann als eine Abkürzung für die umständliche Schreibweise ${displaystyle M={x,|,x={text{blau oder}};x={text{gelb oder}};x={text{rot}}}}$ verstanden werden.

Bei der Schreibweise mit Auslassungspunkten werden nur einige Elemente als Beispiele aufgeführt, etwa: ${displaystyle M={3,6,9,12dots 96,99}}$ . Sie ist nur verwendbar, wenn das Bildungsgesetz aus diesen Beispielen oder aus dem Zusammenhang klar ist. Hier ist offenbar die Menge gemeint, die sich intensional als ${displaystyle M={x,|,x;{text{ist eine durch 3 teilbare Zahl zwischen 1 und 100}}}}$ schreiben lässt. Diese Schreibweise wird häufig für unendliche Mengen angewendet. So beschreibt ${displaystyle G={4,6,8,10dots }}$ die Menge der geraden natürlichen Zahlen, die größer sind als 2.

Neue Mengen kann man auch durch Mengenoperationen bilden, wie aus $A$ und $B$ die Schnittmenge $M=Acap B$ . Diese kann intensional geschrieben werden als ${displaystyle M={x,|,x;{text{ist in }}A{text{ und }}x{text{ ist in }}B}}$ .

Ferner gibt es noch die induktive Definition von Mengen, bei welcher mindestens ein Grundelement explizit angegeben wird und dann mindestens eine Regel, wie aus einem Element ein weiteres Element abgeleitet werden kann. So kann die obige Menge $G$ ebenfalls beschrieben werden durch

i)

4

ist in

G

und

ii) für jedes

x

in

G

ist auch

(x+2)

in

G

und

iii) nur Elemente, die durch i) und (keine, einmalige oder wiederholte) Anwendung von ii) erhalten werden, sind in

G

.

Mächtigkeit |

Für endliche Mengen ist die Mächtigkeit (oder Kardinalität) gleich der Anzahl der Elemente der Menge; das ist eine natürliche Zahl einschließlich der Null. Der Begriff lässt sich auch auf unendliche Mengen verallgemeinern; es stellt sich heraus, dass zwei unendliche Mengen nicht gleichmächtig sein müssen. Die Mächtigkeit einer Menge $M$ wird im Allgemeinen mit $|M|$ , gelegentlich auch mit $#M$ notiert.

Grundlegende Beziehungen zwischen Mengen |

Die Dinge, die in einer Menge enthalten sind, heißen Elemente. Ist ein Objekt $x$ Element einer Menge $M$ , so schreibt man dafür formal: $xin M$ . Die Verneinung ( $x$ ist kein Element von $M$ ) schreibt man als: $x notin M$ . Historisch geht das Elementzeichen $in$ zurück auf den griechischen Buchstaben ε als Anfangsbuchstabe von εστί (estí, es ist)^[4] und wurde 1889 von Giuseppe Peano zum ersten Mal verwendet.

Gleichheit von Mengen und Extensionalität |

Gleichheit |

Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.

Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. Formal:

A=B:Longleftrightarrow forall xleft(xin A,leftrightarrow xin Bright)

Tatsächlich muss eine Menge $A$ aber meist intensional beschrieben werden. Das heißt: Es wird eine Aussageform $P(x)$ angegeben (mit einer Objektvariablen $x$ , die eine wohlbestimmte Definitionsmenge $D$ haben sollte), sodass $xin A$ genau dann gilt, wenn $P(x)$ zutrifft. Dafür schreibt man dann:

A={xin Dmid {mathit {P}}(x)}

Zu jeder Menge $A$ gibt es viele verschiedene Aussageformen $P(x)$ , die diese beschreiben. Die Frage, ob zwei gegebene Aussageformen $P(x)$ und $Q(x)$ dieselbe Menge beschreiben, ist keineswegs trivial. Im Gegenteil: Viele Fragestellungen der Mathematik lassen sich in dieser Form formulieren: „Sind ${xin Dmid {mathit {P}}(x)}$ und ${xin Dmid {mathit {Q}}(x)}$ die gleiche Menge?“

Viele Gleichheitsbeweise benutzen die Äquivalenz $A=Biff (Asubseteq Bland Bsubseteq A)$ .

Extensionalität |

Wenn zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, so sind sie gleich. Auf die Art und Weise, wie die Zugehörigkeit der Elemente zu den Mengen beschrieben ist, kommt es dabei nicht an. Die für Mengen charakteristische Eigenschaft, dass es auf die Art der Beschreibung nicht ankommt, nennt man ihre Extensionalität (von lateinisch extensio = Ausdehnung; betrifft den Umfang des Inhaltes).

Unendliche Mengen müssen aber meist „intensional“ (beschreibende Mengenschreibweise) beschrieben werden (von lateinisch intensio = Spannung; betrifft die Merkmale des Inhaltes). Das heißt: Eine Menge wird durch eine bestimmte Bedingung oder Eigenschaft beschrieben, die alle Elemente der Menge (und nur diese) erfüllen: beispielsweise ${displaystyle G:={xin mathbb {N} mid x{bmod {2}}=0land x>2}}$ , gelesen „sei $G$ die Menge aller $x$ , für die gilt: $x$ ist eine gerade natürliche Zahl und größer als 2“ oder kürzer: „sei $G$ die Menge aller geraden natürlichen Zahlen ${displaystyle >2}$ “.

Es ist teilweise schwer zu entscheiden, ob zwei intensional beschriebene Mengen gleich sind. Dafür muss festgestellt werden, ob die Eigenschaften aus den intensionalen Beschreibungen logisch äquivalent sind (wenn die eine Eigenschaft wahr ist, ist es auch die andere, und umgekehrt).

Leere Menge |

Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit $emptyset$ oder auch ${}$ bezeichnet und hat die Mächtigkeit $|emptyset |=0$ . Aus der Extensionalität folgt unmittelbar, dass es nur eine leere Menge gibt: Jede „andere“ leere Menge, die die gleichen (also keine) Elemente enthält, wäre dieser gleich. Folglich sind $emptyset$ und ${emptyset }$ verschieden, da letztere Menge eine andere Menge als Element enthält.

Nichtleere Menge |

Eine nichtleere Menge ist eine Menge, die nicht die leere Menge ist. Eine nichtleere Menge enthält daher mindestens ein Element. Die Mächtigkeit einer nichtleeren Menge ist größer als 0.

Teilmenge |

A ist eine (echte) Teilmenge von B

Eine Menge $A$ heißt Teilmenge einer Menge $B$ , wenn jedes Element von $A$ auch Element von $B$ ist.

$B$ wird dann Obermenge (selten: Übermenge) von $A$ genannt. Formal:

{A}subseteq {B}:Longleftrightarrow forall xleft({x}in Arightarrow xin Bright)

.

Insbesondere ist also auch jede Menge A Teilmenge von sich selbst: ${A}subseteq {A}$ . Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge.

$A$ ist echte Teilmenge von $B$ (oder $B$ ist echte Obermenge von $A$ ), wenn $A$ Teilmenge von $B$ ist, aber von $B$ verschieden, also jedes Element aus $A$ auch Element von $B$ ist, aber (mindestens) ein Element in $B$ existiert, das nicht in $A$ enthalten ist.

Die Relation „ist Teilmenge von“ bildet eine Halbordnung. Die Relation „echte Teilmenge“ ist eine strenge Halbordnung.

Es sind zwei Notationen für Teilmengen gebräuchlich:

${A}subseteq {B}$ für „Teilmenge“ und ${A}subset {B}$ für „echte Teilmenge“ oder

${A}subset {B}$ für „Teilmenge“ und $A subsetneq B$ für „echte Teilmenge“.

Das erstgenannte System entspricht dem vom Bertrand Russell (vgl. Principia Mathematica) eingeführten und verdeutlicht die Analogie zu den Zeichen $leq$ und $<$ . Es wird in diesem Artikel verwendet, es sind jedoch beide Systeme weit verbreitet.

Die Negation der Relationen $in$ , $subset$ und $subseteq$ kann durch das durchgestrichene jeweilige Relationssymbol bezeichnet werden, also zum Beispiel durch $notin$ . Außerdem ist es möglich, die Reihenfolge der beiden Argumente zu vertauschen, wenn dabei auch das Relationssymbol umgedreht wird. So kann also anstelle von $xin A$ auch $Ani x$ , anstelle von $Asubseteq B$ auch $Bsupseteq A$ und anstelle von $Asubset B$ auch $Bsupset A$ geschrieben werden. Auch ein gleichzeitiges Durchstreichen und Umdrehen dieser Relationssymbole ist denkbar.

Schnittmenge (Schnitt, auch „Durchschnitt“) |

Schnittmenge

Acap B

Beispiel für eine Schnittmenge

Gegeben ist eine nichtleere Menge $U$ von Mengen. Die Schnittmenge (auch Durchschnittsmenge) von $U$ ist die Menge der Elemente, die in jeder Elementmenge von $U$ enthalten sind. Formal:

{displaystyle bigcap U:=bigcap _{ain U}a={xmid forall ain U:xin a}}

.^[5]

Die Schnittmenge von $U$ ist auch dadurch charakterisiert, dass für jede Menge $X$ gilt:

Xsubseteq bigcap Uiff forall ain U:Xsubseteq a

.

Elementmengen ohne gemeinsame Elemente heißen elementfremd oder disjunkt. Ihre Schnittmenge ist die leere Menge.

Ist $U$ eine Paarmenge, also $U,={A,B}$ , so schreibt man für $bigcap U$

{displaystyle bigcap ,{A,B}={xmid left(xin {A}right)land left(xin {B}right)}=:{A}cap {B}}

und liest dies: $A$ geschnitten mit $B$ (oder: Der Durchschnitt von $A$ und $B$ ) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind.

Diese Schreibweise lässt sich leicht auf den Durchschnitt aus endlich vielen Mengen ${A_{1},A_{2},dotsc ,A_{n}}$ verallgemeinern.

Abweichende Schreibweise für den Durchschnitt aus beliebig vielen Mengen:

Die Elemente der Menge $U$ , die ja selbst wieder Mengen sind, werden mit $A_{lambda }$ bezeichnet. Es wird eine „Indexmenge“ $Lambda$ (Lambda) eingeführt, sodass $U={A_{lambda }mid lambda in Lambda }$ ist. Die Schnittmenge $bigcap U$ wird dann geschrieben als:

bigcap _{{lambda in Lambda }}A_{lambda }:={xmid forall lambda in Lambda :xin A_{lambda }}

,

also die Menge aller Elemente, die in sämtlichen Mengen $A_{lambda }$ enthalten sind.^[6]

Eine ältere Bezeichnung für den Durchschnitt ist inneres Produkt oder Produkt erster Art. Dieses wird dann auch als

A_{1}cdot A_{2}cdot dotsc cdot A_{n}

oder

prod _{{i=1}}^{n}A_{i}

geschrieben.
Insbesondere die letzte Schreibweise ist von vielen Autoren für das kartesische Produkt (siehe unten) reserviert und sollte daher nicht für die Schnittmenge verwendet werden, um Missverständnisse zu vermeiden.

Vereinigung (Vereinigungsmenge) |

Vereinigungsmenge

Acup B

Beispiel einer Vereinigungsmenge

Dies ist der zur Schnittmenge duale Begriff: Die Vereinigungsmenge von $U$ ist die Menge der Elemente, die in mindestens einer Elementmenge von $U$ enthalten sind. Formal:

{displaystyle bigcup U:=bigcup _{ain U}a={xmid exists ain U:xin a}}

.

Die Vereinigungsmenge von $U$ ist auch dadurch charakterisiert, dass für jede Menge $X$ gilt:

bigcup Usubseteq Xiff forall ain U:asubseteq X

.

Im Gegensatz zu $bigcap U$ ist $bigcup U$ auch dann erklärt, wenn $U$ leer ist, und zwar ergibt sich $bigcup emptyset =emptyset$ .

Für $U,={A,B}$ schreibt man (analog zum Durchschnitt):

{displaystyle bigcup ,{A,B}={xmid left(xin {A}right)lor left(xin {B}right)}=:{A}cup {B}}

und liest dies: $A$ vereinigt mit $B$ (oder: Die Vereinigung von $A$ und $B$ ) ist die Menge aller Elemente, die in $A$ oder in $B$ enthalten sind. Das „oder“ ist hier nicht-ausschließend zu verstehen: Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.

Wenn Mengen keine gemeinsamen Elemente enthalten, sie also disjunkt sind, verwendet man auch das Zeichen $dot{cup}$ für die Vereinigung dieser disjunkten Mengen. Während jedoch das Zeichen für die Vereinigung $Acup B$ intuitiv mit dem des Junktors $lor$ (oder) identifiziert werden kann, muss zwischen dem Zeichen für die disjunkte Vereinigung $A{mathbin {{dot {cup }}}}B$ und dem Junktor $dotvee$ (ausschließendes oder) unterschieden werden.

Unter Verwendung einer geeigneten Indexmenge $Lambda$ schreibt man:

bigcup _{{lambda in Lambda }}A_{lambda }:={xmid exists lambda in Lambda :xin A_{lambda }}

.

Diese Schreibweise ist auch für die Vereinigung endlich vieler Mengen ${A_{1},A_{2},dotsc ,A_{n}}$ geeignet.

Als ältere Bezeichnung hierfür wird zuweilen noch die Summe verwendet und dann geschrieben

A_{1}+A_{2}+dotsb +A_{n}

oder

sum _{{i=1}}^{n}A_{i}

.

Vorsicht: Der Begriff Summe wird heute auch für die disjunkte Vereinigung von Mengen benutzt.

Differenz und Komplement |

Differenzmenge

Asetminus B

: „A ohne B“

Die Differenz wird gewöhnlich nur für zwei Mengen definiert: Die Differenzmenge (auch Restmenge) von $A$ und $B$ (in dieser Reihenfolge) ist die Menge der Elemente, die in $A$ , aber nicht in $B$ enthalten sind. Formal:

{displaystyle Asetminus B:={xmid left(xin Aright)land left(xnot in Bright)}.}

Die Differenzmenge $Asetminus B$ ist auch dadurch charakterisiert, dass für jede Menge $X$ gilt:

Asetminus Bsubseteq Xiff Asubseteq Bcup X

.

Die Differenz ist im Gegensatz zu Schnitt und Vereinigung weder kommutativ noch assoziativ.

Ist $Bsubseteq A$ , so heißt die Differenz $! Asetminus B$ auch Komplement von $B$ in $A$ . Dieser Begriff wird vor allem dann verwendet, wenn $A$ eine Grundmenge ist, die alle in einer bestimmten Untersuchung in Frage stehenden Mengen umfasst. Diese Menge muss dann im Folgenden nicht mehr erwähnt werden, und

B^{{{mathsf C}}}:={xmid xnot in B}

heißt einfach das Komplement von $B$ . Andere Schreibweisen für $B^{{{mathsf C}}}$ sind $overline B$ , $complement B$ oder $displaystyle B'$ .

Symmetrische Differenz |

Symmetrische Differenz

{displaystyle Abigtriangleup B}

:
„A ohne B“ vereinigt mit „B ohne A“

Die Menge

{displaystyle Abigtriangleup B:=left(Asetminus Bright)cup left(Bsetminus Aright)=(Acup B)setminus (Acap B)}

wird als symmetrische Differenz von $A$ und $B$ bezeichnet. Es handelt sich um die Menge aller Elemente, die jeweils in einer, aber nicht in beiden Mengen liegen. Bei Verwendung des ausschließenden Oder („entweder-oder“: $veebar$ bzw. $nleftrightarrow$ ) kann man dafür auch

{displaystyle Abigtriangleup B:={xmid left(xin Aright)veebar left(xin Bright)}}

schreiben.

Kartesisches Produkt |

Die Produktmenge oder das kartesische Produkt ist eine weitere Art der Verknüpfung von Mengen. Die Elemente des kartesischen Produkts zweier Mengen sind allerdings keine Elemente der Ausgangsmengen, sondern komplexere Objekte. Formal ist die Produktmenge von $A$ und $B$ definiert als

Atimes B:={left(a,bright)mid ain A,bin B}

und damit die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus $A$ und deren zweites Element aus $B$ ist. Unter der Verwendung von n-Tupeln lässt sich das kartesische Produkt auch für die Verknüpfung endlich vieler Mengen $A_1, ldots , A_n$ verallgemeinern:

{displaystyle A_{1}times dotsb times A_{n}:={left(a_{1},dotsc ,a_{n}right)mid a_{i}in A_{i}~{text{für}}~i=1,ldots ,n}}

,

Sind die Mengen $A_1, ldots , A_n$ alle gleich einer Menge $A$ , so schreibt man für die Produktmenge auch kurz $A^{n}$ . Für die Produktmenge einer Familie von Mengen $(A_{lambda })_{{lambda in Lambda }}$ mit einer beliebigen Indexmenge $Lambda$ wird ein allgemeiner Funktionsbegriff benötigt. Sie ist die Menge aller Funktionen, die jedem Indexelement $lambda$ ein Element der Menge $A_{lambda }$ zuordnet, also

prod _{{lambda in Lambda }}A_{lambda }:={fcolon Lambda to bigcup _{{lambda in Lambda }}A_{lambda }mid forall lambda in Lambda :fleft(lambda right)in A_{lambda }}

Ob ein solches kartesisches Produkt nicht leer ist, das heißt, ob es überhaupt stets solche Funktionen wie auf der rechten Seite dieser Definitionsgleichung angegeben gibt, hängt eng mit dem Auswahlaxiom zusammen.

Wenn die Mengen $A_{lambda }$ alle gleich einer Menge $A$ sind, schreibt man die Produktmenge auch kurz als $A^{Lambda }$ .

Potenzmenge |

Die Potenzmenge $mathcal P(A)$ von $A$ ist die Menge aller Teilmengen von $A$ .

Die Potenzmenge von $A$ enthält immer die leere Menge und die Menge $A$ . Somit ist ${mathcal P}(emptyset )={emptyset }$ , also eine einelementige Menge. Die Potenzmenge einer einelementigen Menge ${a}$ ist ${mathcal P}({a})={emptyset ,{a}}$ , enthält also zwei Elemente. Allgemein gilt: Besitzt $A$ genau $n$ Elemente, so hat $mathcal P(A)$ die Elementanzahl $2^{n}$ , das heißt $|{mathcal P}(A)|=2^{{|A|}}$ . Dies motiviert auch die Schreibweise $2^{A}$ anstelle $mathcal P(A)$ .

Bei unendlichen Mengen ist der Begriff nicht unproblematisch: Es gibt nachweislich kein Verfahren, das alle Teilmengen auflisten könnte. (Siehe dazu: Cantors zweites Diagonalargument.) Bei einem axiomatischen Aufbau der Mengenlehre (etwa ZFC) muss die Existenz der Potenzmenge durch ein eigenes Potenzmengenaxiom gefordert werden.

Konstruktive Mathematiker betrachten deshalb die Potenzmenge einer unendlichen Menge als einen grundsätzlich unabgeschlossenen Bereich, zu dem – je nach Fortgang der mathematischen Forschung – immer noch neue Mengen hinzugefügt werden können.

Beispiele für Mengenoperationen |

Wir betrachten die Mengen $X={1,2,3}$ , $A={1,2}$ und $B={1,3}$ . Es gelten beispielsweise:

$2in A$ , $2notin B$

$Xsubseteq X$

$Asubset X$ , $Bsubset X$ , $Ansubseteq B$

$Acap B={1}$

$Acup B=X$

Für die Komplemente bezüglich $X$ gilt $A^{{{mathsf C}}}={3}$ , $B^{{{mathsf C}}}={2}$ , $X^{{{mathsf C}}}=emptyset$ , $emptyset ^{{{mathsf C}}}=X$ .

$Asetminus B={2}$ , $Bsetminus A={3}$ , $Xsetminus A={3}$ , $Asetminus X=emptyset$

${displaystyle Abigtriangleup B={2,3}}$ , ${displaystyle Abigtriangleup X={3}}$ , ${displaystyle Bbigtriangleup X={2}}$

$|X|$ = 3, $|A|$ = $|B|$ = 2, $|emptyset |$ = 0, $left|{emptyset }right|$ = 1

${mathcal P}(A)={emptyset ,{1},{2},{1,2}}$

${displaystyle {mathcal {P}}(X)={emptyset ,Acap B,B^{mathsf {C}},Bsetminus A,A,B,Abigtriangleup B,Acup B}}$

$Atimes B={(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)}$ , $Atimes {3}={(1,3),(2,3)}$ , $A^{2}={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}$ , ${3}^{3}={(3,3,3)}$

$emptyset notin emptyset$ , $emptyset in {emptyset }$ , $emptyset subset A$

$mathcal P(emptyset) = {emptyset}$ , ${mathcal P}left({emptyset }right)={emptyset ,{emptyset }}$

$Atimes emptyset =emptyset times A=emptyset$

Konkrete Beispiele seien hier nochmals benannt.

Die Menge aller zweistelligen „Schnapszahlen“ lautet $lbrace 11,,22,,33,,44,,55,,66,,77,,88,,99rbrace$ . 33 ist ein Element dieser Menge, 23 ist es nicht.

Die Menge der natürlichen Zahlen ${mathbb {N}}=lbrace 1,,2,,3,dotsc rbrace$ ist eine echte Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen ${mathbb {Z}}=lbrace dotsc ,-3,,-2,,-1,,0,,1,,2,,3,dotsc rbrace$ .

Weitergehende Begriffe |

Teilmengen der reellen Geraden, der Ebene oder des dreidimensionalen euklidischen Raumes werden aus historischen Gründen (oder um einen Hinweis auf die darin enthaltenen Elemente zu geben) oft Punktmengen genannt. Dieser Begriff bezeugt die geometrische Herkunft der Mengenlehre.

In der modernen Mathematik werden die Zahlenbereiche rein mit den Methoden der Mengenlehre (mit der leeren Menge als einzigem Grundbaustein) schrittweise aufgebaut,^[7] von den natürlichen Zahlen über die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen (und evtl. weiter zu den komplexen Zahlen und noch darüber hinaus).

In der Schule hat die Mengenlehre unter dem Schlagwort Neue Mathematik zeitweise große Bedeutung erlangt.

Bei unendlichen Mengen treten besondere Phänomene hinsichtlich der üblichen Ordnungsrelationen auf.

Zur Veranschaulichung der Beziehungen zwischen Mengen dienen Mengendiagramme.

Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge und denen einer anderen werden durch „Zuordnungen“ (Relationen) beschrieben, eindeutige Zuordnungen durch „Abbildungen“ (Funktionen).

Literatur |

Klaus Kursawe: Mengen, Zahlen, Operationen. Scripta Mathematica. Aulis Verlag Deubner, Köln 1973, ISBN 3-7614-0176-0.

Hans-Dieter Gerster: Aussagenlogik, Mengen, Relationen. Studium und Lehre Mathematik. Franzbecker, Hildesheim 1998, ISBN 3-88120-287-0.

Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre. Springer, Berlin/ Heidelberg/ New York 1928. (Nachdruck: Dr. Martin Sändig, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4)

Erich Kamke: Mengenlehre. 6. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 1969.

Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8.

H. Schinköthe: Mengen und Längen, Lehrbuch der elementaren Grundlagen mathematischen Denkens und seiner Entwicklung für die Bereiche: Kindergarten, Vorschule, Grundschule, Sonderschule, Rechenschwächetherapie. RESI, Volxheim 2000 (Libri/BoD), ISBN 3-8311-0701-7.

Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 3. Auflage. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-01444-4, doi:10.1007/978-3-642-01445-1.

Weblinks |

Wiktionary: Menge – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Mengenlehre: Menge – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Verknüpfungen zwischen Mengen – Lern- und Lehrmaterialien

Commons: Boolesche Algebra – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Literatur über Mengen im Katalog der Deutschen Nationalbibliothek

Einzelnachweise |

↑ Bernard Bolzano: Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre. Hrsg.: Jan Berg (= Eduard Winter u. a. [Hrsg.]: Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe. II, A). Band 7. Friedrich Frommann Verlag, Stuttgart / Bad Cannstatt 1975, ISBN 3-7728-0466-7, S. 152.

↑ Siehe Textstelle mit der Mengendefinition von Georg Cantor.png für die entsprechende Textstelle im Artikel Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre – Mathematische Annalen (Zeitschriftenband 46) (Memento vom 23. April 2014 im Internet Archive).

↑ ti.inf.uni-due.de (PDF) Abgerufen am 18. November 2011.

↑ So erklärt in Bertrand Russell, Alfred North Whitehead: Principia Mathematica. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge, S. 26 (englisch, Universität Michigan [PDF; abgerufen am 23. Oktober 2011] 1910–1913). und bereits früher bei Peano.

↑ Für leeres $U$ tritt bei dieser Formulierung (noch deutlicher bei ${displaystyle ain emptyset implies xin a}$ ) nach der Regel „ex falso quodlibet“ ein logisches Problem auf: Welche $x$ sollen da gemeint sein? In Analogie zu ${displaystyle textstyle bigcap Usubseteq bigcup U}$ für alle anderen, nichtleeren $U$ setzt man aber wegen ${displaystyle textstyle bigcup emptyset =emptyset }$ meist ${displaystyle textstyle bigcap emptyset :=emptyset }$ .

↑ Fasst man $U$ selbst als Indexmenge auf und setzt ${displaystyle A_{a}:=a}$ für ${displaystyle ain U}$ , dann stimmt diese Schreibweise ${displaystyle textstyle bigcap _{ain U}A_{a}}$ mit der obigen Definition ${displaystyle textstyle bigcap U:=bigcap _{ain U}a}$ überein.

↑ Wolfgang Rautenberg: Messen und Zählen. Heldermann Verlag, Lemgo 2007, ISBN 978-3-88538-118-1.

[1] Bernard Bolzano: Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre. Hrsg.: Jan Berg (= Eduard Winter u. a. [Hrsg.]: Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe. II, A). Band 7. Friedrich Frommann Verlag, Stuttgart / Bad Cannstatt 1975, ISBN 3-7728-0466-7, S. 152.

[2] Siehe Textstelle mit der Mengendefinition von Georg Cantor.png für die entsprechende Textstelle im Artikel Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre – Mathematische Annalen (Zeitschriftenband 46) (Memento vom 23. April 2014 im Internet Archive).

[3] ti.inf.uni-due.de (PDF) Abgerufen am 18. November 2011.

[4] So erklärt in Bertrand Russell, Alfred North Whitehead: Principia Mathematica. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge, S. 26 (englisch, Universität Michigan [PDF; abgerufen am 23. Oktober 2011] 1910–1913). und bereits früher bei Peano.

[5] Für leeres $U$ tritt bei dieser Formulierung (noch deutlicher bei ${displaystyle ain emptyset implies xin a}$ ) nach der Regel „ex falso quodlibet“ ein logisches Problem auf: Welche $x$ sollen da gemeint sein? In Analogie zu ${displaystyle textstyle bigcap Usubseteq bigcup U}$ für alle anderen, nichtleeren $U$ setzt man aber wegen ${displaystyle textstyle bigcup emptyset =emptyset }$ meist ${displaystyle textstyle bigcap emptyset :=emptyset }$ .

[6] Fasst man $U$ selbst als Indexmenge auf und setzt ${displaystyle A_{a}:=a}$ für ${displaystyle ain U}$ , dann stimmt diese Schreibweise ${displaystyle textstyle bigcap _{ain U}A_{a}}$ mit der obigen Definition ${displaystyle textstyle bigcap U:=bigcap _{ain U}a}$ überein.

[7] Wolfgang Rautenberg: Messen und Zählen. Heldermann Verlag, Lemgo 2007, ISBN 978-3-88538-118-1.

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