Lévy-Konstante
Die nach Paul Lévy benannte Lévy-Konstante oder Lévysche Zahl ist eine mathematische Konstante, die bei der Grenzwertbildung von Kettenbrüchen eine Rolle spielt: Zieht man die n{displaystyle n}-te Wurzel des n{displaystyle n}-ten Nenners qn{displaystyle q_{n}} der Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl x{displaystyle x}, so gibt es bei fast allen x{displaystyle x} einen Grenzwert, wenn n{displaystyle n} gegen Unendlich geht:
- limn→∞qn1/n=γ{displaystyle lim _{nto infty }{q_{n}}^{1/n}=gamma }
Dies zeigte 1935 der sowjetische Mathematiker Aleksandr Khinchin.[1] Im folgenden Jahr fand der französische Mathematiker Paul Lévy eine explizite Darstellung für die Lévysche Konstante, nämlich:[2]
- γ=eπ2/(12ln2)=3,275822918721811159787681882…{displaystyle gamma =e^{pi ^{2}/(12ln 2)}=3{,}275822918721811159787681882ldots }
Der darin vorkommende Ausdruck
- β=π212ln2=1,1865691104…{displaystyle beta ={frac {pi ^{2}}{12ln 2}}=1{,}1865691104ldots }
wurde als Khinchin-Lévy-Konstante bezeichnet, wobei die Benennungen nicht einheitlich verwendet werden.
Der doppelte Zehnerlogarithmus der Lévy-Konstante ist gleich dem Grenzwert, der im Satz von Lochs für das Dezimalsystem auftritt.
R. M. Corless zeigte[3]
- β=12∫01lnx−1(x+1)ln2dx{displaystyle beta ={frac {1}{2}}int _{0}^{1}{frac {ln x^{-1}}{(x+1)ln 2}}mathrm {d} x}
und setzte die Lévy-Konstante in Verbindung mit der Khinchin-Konstante.
Weblinks |
Eric W. Weisstein: Khinchin–Lévy Constant. In: MathWorld (englisch).- Folge A086702 in OEIS
Einzelnachweise |
↑ Aleksandr Khinchin: Zur metrischen Kettenbruchtheorie. In: Compositio Mathematica 3 (1936), Nr. 2, S. 275–285. Online
↑ „Lévy, P. "Sur le développement en fraction continue d'un nombre choisi au hasard." Compositio Math. 3, 286-303, 1936. Reprinted in Œuvres de Paul Lévy, Vol. 6. Paris: Gauthier-Villars, S. 285−302, 1980.“ (Eric W. Weisstein: Khinchin–Lévy Constant. In: MathWorld (englisch). )
↑ R. M. Corless: Continued Fractions and Chaos. American Mathematical Monthly Nummer 99, 1992, Seite 203−215.
