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Ein Stellenwertsystem, Positionssystem oder polyadisches Zahlensystem ist ein Zahlensystem, bei dem die (additive) Wertigkeit eines Symbols von seiner Position, der Stelle, abhängt.
Beispielsweise besitzen im weitverbreiteten Zehnersystem für den Beispiels-Wert „127“ die Ziffer „1“ den Wert 1 · 100, dazu addiert sich für die Ziffer „2“ der Wert 2 · 10 sowie für die „7“ 7 · 1 – die Symbole „1“, „2“ und „7“ besitzen eine Wertigkeit, die davon abhängt, an welcher Position/Stelle sie in der Zahl stehen.
Unter der Annahme eines endlichen Vorrats an Symbolen (meist Ziffern oder Zahlzeichen genannt, im Beispiel „0“..„9“) hängt die Anzahl der erforderlichen Stellen logarithmisch von der Größe der dargestellten Zahl ab – im Unterschied zu Additionssystemen, bei denen dieser Zusammenhang (asymptotisch, d. h. für ganz große Zahlen) linear ist.

Die Größe b{displaystyle b} des Ziffernvorrats spielt eine entscheidende Rolle. Im Zehnersystem-Beispiel ist der Ziffernvorrat „0“ bis „9“, das sind b=10{displaystyle b=10} verschiedene Symbole. Bei den wichtigen ganzzahligen Systemen ist der Wert der dargestellten Zahl gleich die Summe der Produkte des jeweiligen Ziffernwerts mit seinem Stellenwert, also ein Polynom in b{displaystyle b} mit den Werten der Ziffern als Koeffizienten; im Beispiel: Zahlenwert = „1“ · 10² + „2“ · 10¹ + „7“ · 10⁰. Deshalb wird b{displaystyle b} als Basis oder Grundzahl des Systems bezeichnet. Die Darstellung von Zahlen bezüglich einer Basis b{displaystyle b} wird oft auch ihre b{displaystyle b}-adische Darstellung (nicht zu verwechseln mit p{displaystyle p}-adischen Zahlen) genannt. Jede ganze Zahl b≥2{displaystyle bgeq 2} eignet sich als Basis für ein Stellenwertsystem.^[1]

Beispiele für Stellenwertsysteme sind das im Alltag gewöhnlich gebrauchte Dezimalsystem (dekadisches System mit der Basis 10), das in der Datenverarbeitung häufig verwendete Dualsystem (dyadisches System mit der Basis 2), das Oktalsystem (mit der Basis 8), das Hexadezimalsystem (mit der Basis 16) sowie das Sexagesimalsystem (mit der Basis 60). Ein Beispiel für ein Zahlensystem, das kein Stellenwertsystem ist, ist das der römischen Ziffern. Es handelt sich dabei um ein Additionssystem.

Eine binäre Uhr kann Leuchtdioden benutzen, um binäre Werte darzustellen. Im obigen Bild ist jede Spalte von Leuchtdioden eine BCD-Codierung der traditionell sexagesimalen Zeitdarstellung.

Geschichte |

Das System stammt ursprünglich aus Indien. Adam Ries verbreitete mit seinen Werken das schriftliche Rechnen mit dem Stellenwertsystem im deutschsprachigen Raum.

Grundbegriffe |

In einem Stellenwertsystem werden Zahlen mit Hilfe von Ziffern und gegebenenfalls Vorzeichen oder Trennzeichen dargestellt. Der Wert einer Zahl ergibt sich anhand der Anordnung der Ziffern aus deren Ziffernwerten und Stellenwerten.

Basis |

Die Anzahl der insgesamt vorhandenen Ziffern wird Basis b{displaystyle b} des Stellenwertsystems genannt. Ein Stellenwertsystem mit der Basis b{displaystyle b} nennt man auch b{displaystyle b}-adisches Zahlensystem. Die gängigsten Basen sind:^[2]

• 
  b=2{displaystyle b=2}: das in der Digitaltechnik verwendete Dualsystem
  


• 
  b=10{displaystyle b=10}: unser vertrautes Dezimalsystem
  


• 
  b=16{displaystyle b=16}: das in der Datenverarbeitung wichtige Hexadezimalsystem.

Zu weiteren in der Praxis verwendeten b{displaystyle b}-adischen Zahlensystemen siehe den Abschnitt Gebräuchliche Basen.

Ziffernvorrat |

Bei einem Stellenwertsystem wird ein Ziffernsystem mit genau b{displaystyle b} verschiedenen Ziffern verwendet. Bei den verbreitetsten Ziffernsystemen steht eine Ziffer der unten angegebenen Art für einen ganzzahligen Ziffernwert ∈{0,1,…,b−1}{displaystyle in {0,1,ldots ,b-1}}^[3].^[4] Beim Hochzählen (das entspricht der Addition einer Eins) wird in der festgelegten Reihenfolge zur Ziffer mit dem nächst höheren Wert übergegangen; bei den wenigen vorhandenen Ziffern wären aber nur wenige Zählschritte möglich. Deshalb wird bei der höchstwertigen Ziffer durch Addition einer Eins auf die niedrigstwertige Ziffer übergegangen und auf der nächst höheren Stelle eine Eins addiert. Bei einem Übertrag auf eine nicht besetzte Stelle wird diese vorab mit einer Null besetzt; bei einer nicht begrenzten Anzahl von Stellen lässt sich dadurch das Zählen unbeschränkt fortsetzen.

In den gängigen Zahlensystemen werden folgende Ziffern verwendet und ihnen ein Ziffernwert zugewiesen (zur besseren Unterscheidung werden hier Ziffersymbole fett und ihre zugehörigen Werte normal gedruckt):

• Im Dualsystem werden die beiden Ziffern 0 und 1 verwendet und ihnen jeweils die Werte der Zahlen 0 und 1 zugeordnet.


• Im Dezimalsystem werden die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 verwendet und ihnen jeweils die Werte der Zahlen von 0 bis 9 in der konventionellen Reihenfolge zugeordnet.


• Im Hexadezimalsystem werden die sechzehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F verwendet und ihnen jeweils die Werte der Dezimalzahlen von 0 bis 15 zugeordnet.

Ist die Basis sehr groß, kommt es meistens zu einer Kombination weniger Ziffern in einem weiteren Zahlensystem. So ist es beim Sexagesimalsystem üblich, statt 60 verschiedenen Zeichen eine Dezimalzahl von 0 bis 59 als „Ziffer“ zu benutzen. IP-Adressen im IPv4-Format bestehen aus 4 „Ziffern“, die Werte von 0 bis 255 annehmen können und mit einem Punkt getrennt werden, beispielsweise 192.0.2.42. Eine andere Art der Zuordnung von Ziffer zu Ziffernwert wurde bei der Codierung Base64 gewählt.

Mitunter werden anstatt Ziffern auch andere Symbole verwendet; beispielsweise werden in der Elektronik oft die beiden Zustände eines Dualsystems nicht mit 0 und 1 beschrieben, sondern es werden stattdessen h und l (für „high“- und „low“-Spannungswerte) verwendet (selten o und l für „on“ und „low“).

Stelle und Stellenwert |

Der Wert einer Zahl ergibt sich nun durch die Anordnung der Ziffern in einer Ziffernfolge. Jeder Platz, den eine Ziffer in dieser Anordnung einnimmt oder einnehmen soll, ist eine Stelle.^[3] Jeder Stelle wird ein Stellenwert zugewiesen, der einer Potenz der Basis entspricht. Die Stelle mit dem niedrigsten Stellenwert steht dabei ganz rechts.^[5] Im Dezimalsystem gilt beispielsweise bei der Darstellung natürlicher Zahlen:

• Der Stellenwert der ersten Stelle von rechts („Einerstelle“) ist 100=1{displaystyle 10^{0}=1}.


• Der Stellenwert der zweiten Stelle von rechts („Zehnerstelle“) ist 101=10{displaystyle 10^{1}=10}.


• Der Stellenwert der dritten Stelle von rechts („Hunderterstelle“) ist 102=100{displaystyle 10^{2}=100}, und so weiter.

Es erweist sich hierbei als vorteilhaft, die Stellen nicht ab Eins, sondern ab Null zu nummerieren. Auf diese Weise hat dann die i{displaystyle i}-te Stelle gerade den Stellenwert bi{displaystyle b^{i}}. Bei der Darstellung rationaler Zahlen werden auch negative Exponenten zugelassen.

Darstellungen verschiedener Zahlenarten |

Darstellung natürlicher Zahlen |

Natürliche Zahlen werden in der b{displaystyle b}-adischen Darstellung durch eine endliche Folge von Ziffern in der Form

an…a2a1a0{displaystyle mathbf {a} _{n}ldots mathbf {a} _{2}mathbf {a} _{1}mathbf {a} _{0}}

dargestellt. Dieser Ziffernfolge wird nun die Zahl Z{displaystyle Z}

Z=∑i=0nai⋅bi=a0⋅b0+a1⋅b1+a2⋅b2+⋯+an⋅bn{displaystyle Z=sum _{i=0}^{n}a_{i}cdot b^{i}=a_{0}cdot b^{0}+a_{1}cdot b^{1}+a_{2}cdot b^{2}+dotsb +a_{n}cdot b^{n}}

zugeordnet, wobei ai{displaystyle a_{i}} der der Ziffer ai{displaystyle mathbf {a} _{i}} zugewiesene Ziffernwert ist.

Es lässt sich zeigen, dass zu jeder natürlichen Zahl Z{displaystyle Z} eine Folge von Ziffern existiert, deren zugeordneter Wert Z{displaystyle Z} ist. Im Allgemeinen gibt es sogar mehrere Folgen. Es genügt dazu, beliebig oft die Ziffer 0 = 0 auf höherwertigen Stellen voranzustellen. Werden Folgen mit führender 0 verboten, so lässt sich zeigen, dass diese Zuordnung sogar eineindeutig ist, das heißt zu jeder natürlichen Zahl Z{displaystyle Z} existiert genau eine Folge, deren zugeordneter Wert Z{displaystyle Z} ist. Als Ausnahme von diesem Verbot wird der Zahl 0 nicht die leere Folge (also die Folge ohne ein einziges Glied) zugeordnet, sondern die Folge mit genau einer Ziffer, und zwar der, welcher der Wert 0 zugeordnet wird (also 0), um diese Zahl typografisch erkennbar zu machen.

Als Beispiel für die angegebene Zahlendarstellung betrachten wir die Ziffernfolge 694 im Dezimalsystem (b=10{displaystyle b=10}). Sie steht für:

4⋅100+9⋅101+6⋅102=694.{displaystyle 4cdot 10^{0}+9cdot 10^{1}+6cdot 10^{2}=694.}

Die Ziffernfolge 2B6 im Hexadezimalsystem (b=16{displaystyle b=16}) steht für a0+a1⋅b+a2⋅b2{displaystyle a_{0}+a_{1}cdot b+a_{2}cdot b^{2}} mit a0{displaystyle a_{0}} = 6 = 6; a1{displaystyle a_{1}} = B = 11; a2{displaystyle a_{2}} = 2 = 2.

Also hat die Folge 2B6 den Wert der Dezimalzahl

6+11⋅16+2⋅162=6+176+512=694.{displaystyle 6+11cdot 16+2cdot 16^{2}=6+176+512=694.}

Entsprechend hat die Ziffernfolge 1010110110 im Dualsystem (b=2{displaystyle b=2}) den Wert der Dezimalzahl

0⋅20+1⋅21+1⋅22+0⋅23+1⋅24+1⋅25+0⋅26+1⋅27+0⋅28+1⋅29=2+4+16+32+128+512=694.{displaystyle 0cdot 2^{0}+1cdot 2^{1}+1cdot 2^{2}+0cdot 2^{3}+1cdot 2^{4}+1cdot 2^{5}+0cdot 2^{6}+1cdot 2^{7}+0cdot 2^{8}+1cdot 2^{9}=2+4+16+32+128+512=694.}

Darstellung ganzer Zahlen |

In einem System bestehend aus positiver Basis und rein nicht-negativem Ziffernvorrat lassen sich negative Zahlen nicht darstellen. Solchen Systemen wird ein Minuszeichen („–“) beigefügt, das den Zahlkonstanten ggf. vorangestellt wird. Dies geht mit einem geringen Verlust an Eineindeutigkeit einher, da die Zahl 0 als vorzeichenbehaftete Null in der Form +0, –0 oder auch ±0 geschrieben werden kann. Darstellungen von Zahlen verschieden von 0, denen kein Minuszeichen vorangestellt wird, werden als positive Zahlen interpretiert. Manchmal möchte man diese Positivität jedoch besonders hervorheben (bspw., wenn die Zahl als Inkrement kenntlich gemacht werden soll). In solchen Fällen wird in der Darstellung ein Pluszeichen („+“) vorangestellt.

Darstellung rationaler Zahlen |

Die Notation wird in die negativen Exponenten der Basis erweitert, indem man die entsprechenden Stellen rechts von einem zu diesem Zweck angefügten Trennzeichen in lückenloser Folge anschließt.
Im deutschsprachigen Raum (ausgenommen Schweiz) ist hierfür das Komma »,«, im englischsprachigen Raum dagegen der Punkt ».« gebräuchlich. Die Werte der Ziffern hinter dem Trennzeichen werden mit b−i{displaystyle b^{-i}} multipliziert, wobei i{displaystyle i} die Position hinter dem Komma angibt.
Zum Beispiel wird die rationale Zahl 1+3/8 = 1,375 im 2-adischen Stellenwertsystem durch die Ziffernfolge 1,011 dargestellt. In der Tat ist

1⋅20+0⋅2−1+1⋅2−2+1⋅2−3=1+0/2+1/4+1/8=1+3/8.{displaystyle 1cdot 2^{0}+0cdot 2^{-1}+1cdot 2^{-2}+1cdot 2^{-3}=1+0/2+1/4+1/8=1+3/8.}

Nach der Hinzufügung des Trennzeichens lassen sich viele rationale Zahlen b{displaystyle b}-adisch darstellen, jedoch keineswegs alle, denn es kann vorkommen, dass zur Darstellung eine unendliche Folge von Nachkommastellen benötigt wird, die dann aber periodisch ist. Gewöhnlich wird diese Periode durch eine über die sich wiederholenden Ziffern gezogene Linie gekennzeichnet und so sie Länge der Periode markiert und eine (endliche) Aufschreibung ohne Pünktchen möglich.

Während die Zahl 1/5 = 0,2 im Dezimalsystem die endliche Ziffernfolge 0,2 hat, ist ihre Darstellung im Dualsystem periodisch:

0,00110011…₂ = 0,0011₂.

Dagegen bedeutet die Ziffernfolge 0,1 im 3-adischen (ternären) System die rationale Zahl 1·3⁻¹ = 1/3, die im Dezimalsystem einer unendlichen periodischen Ziffernfolge 0,333… = 0,3_dez entspricht.

Allgemein gilt, dass ein Bruch genau dann eine endliche b{displaystyle b}-adische Darstellung hat, wenn nach dem Kürzen alle Primfaktoren seines Nenners auch Primfaktoren von b=:p1ν1⋯pkνk{displaystyle b=:p_{1}^{nu _{1}}cdots p_{k}^{nu _{k}}} (bei p1,…,pk∈P{displaystyle p_{1},ldots ,p_{k}in mathbb {P} } und ν1,…,νk∈N{displaystyle nu _{1},ldots ,nu _{k}in mathbb {N} }) sind. (Für eine endliche Darstellung im Dezimalsystem muss der gekürzte Nenner also ein Produkt der Zahlen Zwei und Fünf sein. Genau dann ist der Bruch ein Dezimalbruch im engeren Sinne oder wird durch Erweitern zu einem solchen.)

Die endlichen Darstellungen bilden den Ring

ZS:={x∈Q∣∃i∈N0:xbi∈Z}=ZbZ{displaystyle mathbb {Z} _{S}:={xin mathbb {Q} mid exists iin mathbb {N} _{0}:xb^{i}in mathbb {Z} }=mathbb {Z} b^{mathbb {Z} }},

wobei S:={p1,…,pk}⊂P{displaystyle S:={p_{1},ldots ,p_{k}}subset mathbb {P} } für die Menge der Primfaktoren von b{displaystyle b} steht. Bei diesen rationalen Zahlen hat in einer vollständig gekürzten Bruchdarstellung der Nenner nur Primteiler pi∈S{displaystyle p_{i}in S}. Für jedes nichtleere S{displaystyle S} liegt der Unterring ZS{displaystyle mathbb {Z} _{S}} von Q{displaystyle mathbb {Q} } (wie Q{displaystyle mathbb {Q} } selbst) dicht sowohl in Q{displaystyle mathbb {Q} } wie in R{displaystyle mathbb {R} }, d. h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus ZS{displaystyle mathbb {Z} _{S}} approximieren.^[6]

Betrachtet man nur Darstellungen endlicher Länge, dann bezeichnen schon die Ziffernfolgen 1, 1,0, 1,000 im Dezimalsystem allesamt dieselbe rationale Zahl 1 (ganz zu schweigen von den Darstellungen 01, 0001 mit führenden Nullen). Diese Uneindeutigkeiten lassen sich durch Verbote führender und nachklappender Nullen noch unterdrücken.
Gehören jedoch die unendlichen Darstellungen von Anfang an zum System, dann kommen die nicht-abbrechende Darstellung 1,000… = 1,0 und darüber hinaus die ganz anders aussehende Darstellung 0,999… = 0,9 (alle mit dem Wert 1) hinzu, siehe dazu den Artikel 0,999….^[7]

Normalerweise sind Missverständnisse nicht zu befürchten, so dass man beide Darstellungen zulassen kann. Eindeutigkeit ist jedoch z. B. bei der Z-Kurve gefordert, die Z:R2→R1{displaystyle Z,colon mathbb {R} ^{2}to mathbb {R} ^{1}} injektiv abbildet und bei der zwei b{displaystyle b}-Ziffernfolgen alternierend in eine gepresst werden. Die Unstetigkeitsstellen der Funktion Z{displaystyle Z} sind übrigens genau die Argumente, die eine endliche b{displaystyle b}-adische Darstellung haben.^[8]

Die b{displaystyle b}-adische Darstellung eines gekürzten Bruchs q=:z/(m⋅n){displaystyle q=:z/(mcdot n)} mit z∈Z,m=p1μ1⋯pkμk{displaystyle zin mathbb {Z} ,m=p_{1}^{mu _{1}}cdots p_{k}^{mu _{k}}} und n∈N{displaystyle nin mathbb {N} } teilerfremd zur Basis b{displaystyle b} hat für n=1{displaystyle n=1} die Periodenlänge 0, ist also endlich. Andernfalls ist b{displaystyle b} ein Element der primen Restklasse [b]∈Zn∗{displaystyle [b]in mathbb {Z} _{n}^{*}}, so dass bφ(n)≡1 mod n{displaystyle b^{varphi (n)}equiv 1{text{ mod }}n} ist (mit φ{displaystyle varphi } als der eulerschen φ-Funktion). Die b{displaystyle b}-adische Periodenlänge des gekürzten Bruchs q{displaystyle q} ist dann der kleinste Exponent ordn⁡(b):=e>0{displaystyle operatorname {ord} _{n}(b):=e>0}, für den n{displaystyle n} ein Teiler von be−1{displaystyle b^{e}-1} ist.
(S. a. den Artikel Rationale Zahl#Dezimalbruchentwicklung.)

Darstellung reeller Zahlen |

Die Darstellung reeller Zahlen erfolgt prinzipiell genauso wie die von rationalen Zahlen durch b-adische Entwicklung. Bei rationalen Zahlen liefert diese eine abbrechende oder eine unendliche periodische Ziffernfolge.

Die b-adische Entwicklung einer irrationalen Zahl (wie π oder 2{displaystyle {sqrt {2}}}) liefert dagegen stets eine unendliche nichtperiodische Ziffernfolge. Durch Verlängerung des Nachkommaanteils ist eine beliebig genaue Annäherung an die irrationale Zahl möglich.

Wie bei den rationalen Zahlen mit unendlich periodischer Ziffernfolge ist eine endliche Darstellung für irrationale Zahlen durch Einführung neuer Symbole möglich, so wie dies hier für die Beispiele π und 2{displaystyle {sqrt {2}}} geschehen ist.

Trotzdem kann selbst mit beliebig, aber endlich vielen zusätzlichen Zeichen nicht jede reelle Zahl als endliche Zeichenfolge dargestellt werden. Dies liegt daran, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar, die Menge aller endlichen Darstellungen mit endlichem Zeichenvorrat aber nur abzählbar ist.^[9]

Wenn aber unter der „Darstellung“ einer reellen Zahl die bei der b-adischen Entwicklung entstehende Ziffernfolge verstanden wird, dann ist jede reelle Zahl als (ggf. unendlicher) b-adischer Bruch darstellbar, auch wenn nicht jeder solche Bruch tatsächlich aufschreibbar ist.

Formeln |

Berechnung eines Ziffernwertes |

Die letzte Ziffer der b{displaystyle b}-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl n{displaystyle n} ist der Rest von n{displaystyle n} bei Division durch b{displaystyle b}. Dieser Rest ist auch durch den Ausdruck

n−b⌊nb⌋{displaystyle n-bleftlfloor {frac {n}{b}}rightrfloor }

gegeben; dabei bezeichnet ⌊⋅⌋{displaystyle lfloor {cdot }rfloor } die Gaußklammer. Allgemeiner ist die durch die letzten k{displaystyle k} Ziffern von n{displaystyle n} gebildete Zahl der Rest von n{displaystyle n} bei Division durch bk{displaystyle b^{k}}.

Die k{displaystyle k}-te Ziffer (von rechts mit null beginnend gezählt) einer positiven reellen Zahl x{displaystyle x} ist

⌊xbk⌋−b⌊xbk+1⌋;{displaystyle leftlfloor {frac {x}{b^{k}}}rightrfloor -bleftlfloor {frac {x}{b^{k+1}}}rightrfloor ;}

für negative k{displaystyle k} ergibt sich die entsprechende Nachkommastelle.

Berechnung der Stellenzahl |

Die Anzahl a{displaystyle a} der Ziffern der b{displaystyle b}-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl n∈N0{displaystyle nin mathbb {N} _{0}} ist

a={1,wenn n=0,⌊logb⁡n⌋+1,wenn n≥1.{displaystyle a={begin{cases}1,&{text{wenn }}n=0,\lfloor log _{b}{n}rfloor +1,&{text{wenn }}ngeq 1.end{cases}}}

Hinzufügen einer Ziffer |

• Hängt man an die b{displaystyle b}-adische Darstellung einer Zahl n{displaystyle n} ganz rechts eine Ziffer z{displaystyle z} an, so erhält man die b{displaystyle b}-adische Darstellung der Zahl n⋅b+z{displaystyle ncdot b+z}.


• Stellt man die Ziffer z{displaystyle z} hingegen ganz links n{displaystyle n} voran, so erhält man die b{displaystyle b}-adische Darstellung der Zahl z⋅ba+n{displaystyle zcdot b^{a}+n}, wobei a{displaystyle a} wie oben angegeben die Anzahl der Ziffern von n{displaystyle n} ist.

Gebräuchliche Basen |

• Das bekannteste und verbreitetste Stellenwertsystem ist das Dezimalsystem (Zehner-System) mit Basis 10 und den Ziffern 0 bis 9. Das Dezimalsystem stammt ursprünglich aus Indien. Der persische Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete es in seinem Arithmetikbuch, das er im 8. Jahrhundert schrieb. Bereits im 10. Jahrhundert wurde das System in Europa eingeführt, damals noch ohne Null. Durchsetzen konnte es sich jedoch erst im 12. Jahrhundert mit der Übersetzung des genannten Arithmetikbuchs ins Lateinische. Zur Speicherung von Dezimalziffern im Computer dient der BCD-Code.


• Im 17. Jahrhundert führte der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz mit der Dyadik das Dualsystem (binäres Zahlensystem) ein, also das Stellenwertsystem mit der Basis 2 und den Ziffern 0 und 1. Dieses wird vor allem in der Informationstechnik verwendet, da deren Logik allein auf Bits, welche entweder wahr oder falsch bzw. 1 oder 0 sind, ausgerichtet ist.


• Da Binärdarstellungen großer Zahlen unübersichtlich lang sind, wird an ihrer Stelle oft das Hexadezimal- oder Sedezimalsystem verwendet, das mit der Basis 16 (und den Ziffern 0, 1, …, 9, A, B, …, F) arbeitet. Hexadezimale und binäre Darstellung lassen sich leicht ineinander umwandeln, da 4 Stellen (= 1 Nibble) einer binären Zahl gerade einer Stelle einer hexadezimalen Zahl entsprechen.


• In der Computertechnik wird neben dem Binär- und Hexadezimalsystem auch das Oktalsystem zur Basis 8 (Ziffern 0 bis 7, drei Binärstellen = eine Oktalstelle) verwendet. Diese Verwendung nimmt aber immer mehr ab, da sich die heute üblichen Wortlängen von acht Bit nicht in eine ganze Anzahl von Stellen im Oktalsystem umwandeln lassen.


• Ebenfalls Verwendung findet die Basis 64 bei Base64 (mit ungewohnter Symbolreihenfolge); die Basis 62 bei Base62 mit den Ziffern 0 bis 9, A bis Z und a bis z; sowie gelegentlich die Basis 32 mit den Ziffern 0 bis 9 und a bis v unter der Bezeichnung Radix32.


• Ab ca. 1100 v. Chr. wurden im indo-chinesischen Raum Rechentafeln Abakus (Rechentafel) benutzt, denen ein Unärsystem zugrunde liegt. Aber siehe oben zum Unärsystem in Fünfer-Blöcken, das allerdings ein Additionssystem darstellt.


• Das Vigesimalsystem verwendet 20 als Basis. Es dürfte entstanden sein, weil zum Zählen neben den Fingern auch die Zehen benutzt wurden, und war u. a. in fast allen mesoamerikanischen Kulturen gebräuchlich. Das am weitesten entwickelte System dieser Art wurde von den Maya in der Klassischen Periode für astronomische Berechnungen sowie zur Darstellung von Kalenderdaten verwendet. Es handelte sich um ein Stellenwertsystem »mit einem Sprung«, weil an der zweiten Stelle nur die Ziffern von 1 bis 18 auftreten, um so als dritten Stellenwert 360 (annähernde Länge des Sonnenjahres) zu erreichen. Die Maya kannten die Null und benutzten sie auch in ihren Kalendern.


• Die Indianer Südamerikas verwendeten Zahlensysteme zur Basis 4, 8 oder 16, da sie mit Händen und Füßen rechneten, jedoch die Daumen dabei nicht einbezogen.


• Das Duodezimalsystem hat als Basis die 12. Wir finden es in der Rechnung mit Dutzend und Gros und im angelsächsischen Maßsystem (1 Shilling = 12 Pence) (siehe auch Alte Maße und Gewichte). Auch die Stundenzählung hat in diesem System ihren Ursprung. In vielen polytheistischen Religionen gab es 12 Hauptgötter, die sich z. B. im alten Ägypten in drei oberste Götter und 3 × 3 zugeordnete Götter aufteilten. (Die Drei galt als perfekte Zahl; siehe auch Dreifaltigkeit).


• Die Babylonier benutzten ein Zahlensystem mit der Basis 60 (Sexagesimalsystem; siehe auch Geschichte von Maßen und Gewichten).


• Ein eventuell zu erwartendes Zahlensystem zur Basis fünf bei Völkern, die nur eine Hand zum Zählen benutzen, wurde bisher nicht entdeckt. In Bantusprachen sind die Namen der Zahlen 6, 7, 8 und 9 jedoch oft Fremdwörter oder als 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3, 5 + 4 verstehbar, was auf ein Zahlensystem zur Basis 5 hinweist.
  

  Zum Beispiel:
  Swahili: 1 = moja, 2 = mbili, 3 = tatu, 4 = nne, 5 = tano, 6 = sita, 7 = saba, 8 = nane, 9 = kenda (Arabisch: 6 = sitta, 7 = saba'a)
  Tshitschewa: 1 = modzi, 2 = wiri, 3 = tatu, 4 = nai, 5 = sanu, 6 = sanu ndi-modzi, 7 = sanu ndi-wiri, 8 = sanu ndi-tatu, 9 = sanu ndi-nai
  

  
  

Besonders ausgeprägt ist das Quinärsystem bei den südamerikanischen Betoya: 1 = tey, 2 = cayapa, 3 = tozumba, 4 = cajezea, 5 = teente, 10 = caya ente, 15 = tozumba-ente, 20 = caesea ente.^[10]

• Das Senärsystem eignet sich zum Zählen bis fünfunddreißig mit 2 × 5 Fingern. Sprachliche Spuren eines solchen Systems sind sehr selten (beispielsweise Bretonisch 18 = triouec'h, etwa „3 6er“)^[10]
  


• Die frühere Vermutung, die Maori benützten ein System zur Basis 11, gilt mittlerweile als überholt.^[10] Einige Völker benutzen das System zur Basis 18.

Konvertierungen |

Manchmal benötigt man Konvertierungen zwischen Stellenwertsystemen. Ist das Dezimalsystem nicht beteiligt, kann man es als Zwischenschritt verwenden. Die nachfolgenden Berechnungen können auch mit Hilfe eines Taschenrechners durchgeführt werden, bei dem in der Regel die Zahlenein- und -ausgabe nur im Dezimalsystem geschieht.

Insbesondere, wenn Zahlen von einem System in ein anderes zu konvertieren sind, ist es üblich und zweckmäßig, die Ziffernfolgen durch ein tiefgestelltes Suffix b{displaystyle _{b}} der Basis b{displaystyle b} des verwendeten Zahlensystems zu kennzeichnen. Dabei steht ein fehlendes Suffix und das Suffix ₁₀ standardmäßig für die konventionelle dezimale Darstellung, explizit auch _dez oder _dec. Die Suffixe ₂ oder _b kennzeichnen binär und ₁₆ oder _h hexadezimal dargestellte Zahlen. Ferner wird als Ziffernvorrat der Standardsatz {0,1,…,b−1}{displaystyle {0,1,ldots ,b-1}} angenommen. Gelegentlich wird die gekennzeichnete Ziffernfolge in eckige Klammern gesetzt.

Es gibt zwei wesentliche Varianten

• die iterierte euklidische Division, die bei den Stellen niedriger Signifikanz beginnt, und


• die Auswertung des Ziffern-Polynoms bspw. in einer Art des Horner-Schemas. Die kleinste Anzahl von Multiplikationen wird benötigt, wenn man bei der höchstwertigen Stelle beginnt.

Die Auswahl richtet sich am besten danach, welches Verfahren auf dem vorhandenen Kalkulator am einfachsten durchgeführt werden kann.

Beispiel 1: Umwandlung einer Darstellung zur Basis 10 in eine Darstellung zur Basis 12 |

Eine Zahl hat die dezimale Darstellung 4711. Gesucht ist ihre Darstellung im Zwölfersystem.

Um diese Darstellung zu erhalten, dividiert man die gegebene Darstellung schrittweise durch die neue Basis 12. Die verbleibenden Reste liefern die Darstellung zur Basis 12. Dabei entspricht der erste Rest dem niedrigsten Ziffernwert der gesuchten neuen Darstellung (in unserem Fall also der Stelle 120{displaystyle 12^{0}}), der zweite Rest entspricht dem zweitniedrigsten Ziffernwert (also der Stelle 121{displaystyle 12^{1}}) usw. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

• 4711 geteilt durch 12 ergibt 392 Rest 7 (entspricht der Ziffer zur Stelle 120{displaystyle 12^{0}} im Ergebnis)


• 
  0392 geteilt durch 12 ergibt 032 Rest 8 (entspricht der Ziffer zur Stelle 121{displaystyle 12^{1}} im Ergebnis)


• 
  0032 geteilt durch 12 ergibt 002 Rest 8 (entspricht der Ziffer zur Stelle 122{displaystyle 12^{2}} im Ergebnis)


• 
  0002 geteilt durch 12 ergibt 000 Rest 2 (entspricht der Ziffer zur Stelle 123{displaystyle 12^{3}} im Ergebnis)

Als Duodezimaldarstellung der gegebenen Zahl erhalten wir somit 2887. Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.

Beispiel 2: Umwandlung einer Darstellung zur Basis 16 in eine Darstellung zur Basis 10 |

Bezüglich des Hexadezimalsystems mit den Ziffern 0, 1, …, 9, A (Wert 10), B (Wert 11), C (Wert 12), D (Wert 13), E (Wert 14) und F (Wert 15) habe eine Zahl die Darstellung AFFE. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Zehnersystem.

Um diese Darstellung zu erhalten, multipliziert man die Ziffernwerte der gegebenen Darstellung mit den jeweiligen Stellenwerten und addiert die Ergebnisse auf. Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

• 10 (A) mal 163{displaystyle 16^{3}} ergibt 40960


• 15 (F) mal 162{displaystyle 16^{2}} ergibt 3840


• 15 (F) mal 161{displaystyle 16^{1}} ergibt 240


• 14 (E) mal 160{displaystyle 16^{0}} ergibt 14

Als Dezimaldarstellung der gegebenen Zahl erhalten wir somit 40960+3840+240+14=45054{displaystyle 40960+3840+240+14=45054}. Die Umwandlung in andere Stellenwertsysteme erfolgt analog.

Beispiel 3: Nachkommastellen |

Bezüglich des Zehnersystems habe eine Zahl die Darstellung 0,1. Gesucht ist die Darstellung dieser Zahl im Dualsystem.

Hierzu wird der Nachkommaanteil wiederholt mit der Basis des Zielsystems multipliziert. Tritt dabei ein Wert größer 1 auf, wird dessen ganzzahliger Anteil der Reihe der Nachkommastellen hinzugefügt, andernfalls wird eine 0 den Nachkommastellen hinzugefügt. Tritt eine ganze Zahl als Multiplikationsergebnis auf, ist der Nachkommabetrag vollständig bestimmt, oft wird jedoch auch eine Periode auftreten.

Die zugehörige Rechnung dazu lautet demnach:

• 0,1 mal 2 ergibt 0,2 , die erste Nachkommastelle ist also die 0


• 0,2 mal 2 ergibt 0,4 , die zweite Nachkommastelle ist also die 0


• 0,4 mal 2 ergibt 0,8 , die dritte Nachkommastelle ist also die 0


• 0,8 mal 2 ergibt 1,6 , die vierte Nachkommastelle ist also die 1


• 0,6 mal 2 ergibt 1,2 , die fünfte Nachkommastelle ist also die 1


• 0,2 mal 2 (muss nicht mehr ausgeführt werden, da eine Periode aufgetreten ist)

Als Ergebnis erhalten wird somit 0,0001100110011…

Balancierte Stellenwertsysteme |

Besondere Stellenwertsysteme sind die balancierten. Sie haben immer eine ungerade Basis b∈N{displaystyle bin mathbb {N} } und verwenden sowohl natürliche als auch negative Ziffernwerte, nämlich die aus der Menge {−b−12,…,−1,0,1,…,b−12}{displaystyle {-{tfrac {b-1}{2}},dotsc ,-1,0,1,dotsc ,{tfrac {b-1}{2}}}}. Häufig werden die negativen Ziffern durch einen Unterstrich gekennzeichnet. So wird z. B. im balancierten Ternärsystem eine Zahl durch die Ziffern 1, 0, und 1 dargestellt, welchen die Werte −1, 0 und 1 zugeordnet sind.

Ein balanciertes Stellenwertsystem hat folgende Eigenschaften:

• Das Negative einer Zahl erhält man durch Austausch einer jeden Ziffer mit ihrem inversen Gegenüber.


• Die erste von 0 verschiedene Stelle zeigt das Vorzeichen an. Das System kommt also ohne ein separates Vorzeichen aus.


• Eine Rundung zur nächsten ganzen Zahl geschieht durch einfaches Abschneiden beim Komma.

Die Darstellung der ganzen Zahlen ist eindeutig.

Es gibt aber rationale Zahlen, die nicht eindeutig darstellbar sind. Sei dazu t:=b−12{displaystyle mathbf {t} :={tfrac {b-1}{2}}} die größte Ziffer und t_:=−t{displaystyle {underline {!!mathbf {t} !!}}:=-mathbf {t} } die kleinste, dann ist bspw.

0,t¯=1,t_¯=12.{displaystyle 0{,}{overline {mathbf {t} }};=;1{,}{overline {underline {!!mathbf {t} !!}}};=;{frac {1}{2}}.}

Lexikographische Ordnung |

Bei positiver Basis b∈N∖{1}{displaystyle bin mathbb {N} !setminus !!{!1!}} hängt die übliche Ordnungsrelation der reellen Zahlen eng zusammen mit der lexikographischen Ordnung der diese Zahlen darstellenden b{displaystyle b}-adischen Zeichenketten. Genauer:

• Es gibt einen Ordnungshomomorphismus (eine ordnungserhaltende Abbildung) ω{displaystyle omega }, der die beliebig (auch unendlich) langen Zeichenketten auf b{displaystyle b}-adische Weise in ein reelles Intervall abbildet.


• Für kein b{displaystyle b}-adisches System ist ω{displaystyle omega } injektiv.^[11]
  


• Welche reellen Zahlen mehrere Darstellungen (mehrere Urbilder) haben, hängt von den Ziffernwerten des zugehörigen Ziffernsystems Σ{displaystyle Sigma } ab. Ihre Menge ist eine Teilmenge der rationalen Zahlen, hat also abzählbare Mächtigkeit. Sie liegt dicht im Bildintervall.^[12]
  

Verallgemeinerungen |

Zahlensysteme mit gemischten Basen |

Eine naheliegende Verallgemeinerung ist, verschiedene Basen für die verschiedenen Ziffernpositionen zu wählen. Man spricht dann von Zahlensystemen mit gemischten Basen. Ein paar interessante Beispiele sind:

• alternierend a oder b, wobei a und b zwei verschiedene natürliche Zahlen > 1 sind^[13]
  


• 2 oder 3 aber in der Reihenfolge, so dass ek{displaystyle e^{k}} am „relativ engsten“ approximiert wird mit dem Produkt der ersten k Basen


• als Basis werden die natürlichen Zahlen > 1 der Reihe nach genutzt („Fakultätsbasis“)

• die Primzahlen der Reihe nach oder die (sich dann wiederholenden) Primzahlen die mit jeder nächstgrößeren Primzahlpotenz auftreten (s. a. Darstellung der proendlichen Zahlen mit mehreren Basen)

In den beiden letzten Fällen hat man im Prinzip unendlich viele verschiedene Ziffernsymbole bereitzustellen.^[14]

Datumsformat als Zahlensystem mit gemischten Basen |

Auch die Darstellung von Datum und Uhrzeit hat traditionell mehrere Basen und Ziffernsysteme. Im hiesigen Kontext sei als einziges Exempel die folgende im angelsächsischen Sprachraum gebräuchliche Darstellung

[1-12] [1–31] [0–9]^[2,4,*] [1-12] [am,pm] [0–59] [0–59] [0–9]^*

angeführt, bei der zudem die Reihenfolge von Jahr-, Monat- und Tagangaben einerseits sowie Halbtag und Stunde andererseits entgegen der Rangfolge vertauscht sind.^[15] Hier finden also die Basen 2, 10, 12, 28–31 und 60 Verwendung. Insbesondere ist bemerkenswert, dass sich die Basis der Tagesstelle nach dem Wert der Monatsstelle richtet.

Nicht-natürliche Zahlen als Basis |

Die Basis b{displaystyle b} muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Sämtliche (auch komplexe) Zahlen mit Betrag größer 1 können als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden.

Negative Basen |

Stellenwertsysteme mit negativen Basen b∈Z{displaystyle bin mathbb {Z} } mit b≤−2{displaystyle bleq -2} kooperieren mit denselben Ziffernvorräten wie ihre positiven Entsprechungen −b∈N{displaystyle -bin mathbb {N} } und r:=|b|{displaystyle r:=|b|} wird oft als Radix bezeichnet.
Sie werden häufig mit der Vorsilbe nega- gekennzeichnet, bspw. das negadezimale, negabinäre, negaternäre usw. Stellenwertsystem.

Diese Stellenwertsysteme kommen ohne ein extra Vorzeichen aus. Andererseits benötigen die Darstellungen häufig eine Ziffer mehr als im entsprechenden System mit positiver Basis. Ferner sind die arithmetischen Operationen, insbesondere der arithmetische Vergleich und die Bildung des Absolutbetrags, etwas komplexer.

Ist der Ziffernvorrat minimal, bspw. {0,1,…,−b−1}{displaystyle {0,1,ldots ,-b!-!!1}}, dann sind alle ganzen Zahlen eindeutig darstellbar. Wie bei den positiven Basen gibt es rationale Zahlen, die nicht eindeutig darstellbar sind. Sei dazu

T:=0,01¯b=∑i=1∞b−2i=1b2−1{displaystyle T:=0{,}{overline {01}}_{b}=sum _{i=1}^{infty }b^{-2i}={frac {1}{b^{2}-1}}}

und t:=−b−1{displaystyle mathbf {t} :=-b!-!!1} die größte Ziffer,
dann ist sowohl

0,0t¯b=tT=−b−1b2−1=1−b+1{displaystyle 0{,}{overline {0mathbf {t} }}_{b}=mathbf {t} T={frac {-b!-!!1}{b^{2}-1}}={frac {1}{-b+1}}}

als auch

1,t0¯b=1+tbT=(b2−1)+(−b−1)bb2−1=1−b+1.{displaystyle 1{,}{overline {mathbf {t} 0}}_{b}=1+mathbf {t} bT={frac {(b^{2}-1)+(-b!-!!1)b}{b^{2}-1}}={frac {1}{-b+1}}.}

Einige arithmetische Operationen bringt der englischsprachige Artikel.

Irrationale Basen |

Will man alle reellen Zahlen darstellen, dann muss bei nicht-ganzzahliger oder irrationaler Basis b∈R∖Z{displaystyle bin mathbb {R} setminus mathbb {Z} } die Minimalgröße des Ziffernsystems ⌈|b|⌉{displaystyle lceil |b|rceil } (Betragsstriche und Gaußklammern) sein.
Für solche verallgemeinerten Stellenwertsysteme gelten einige der hier gemachten Aussagen über die endliche Darstellbarkeit rationaler Zahlen nicht.

Wird zum Beispiel der Goldene Schnitt Φ=1+52{displaystyle Phi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}} als Basis und {0,1}{displaystyle left{0,1right}} als Ziffernvorrat verwendet, dann stellt eine endliche Ziffernfolge stets eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl der Form s+t⋅5{displaystyle s+tcdot {sqrt {5}}} mit rationalen s,t{displaystyle s,t} dar. Trotzdem hat nicht jede solche Zahl eine endliche Darstellung.

Eine ebenfalls auf dem Goldenen Schnitt basierende Darstellung ist die Zeckendorf-Darstellung, bei der allerdings nicht die Potenzen von Φ{displaystyle Phi }, sondern die Fibonacci-Zahlen als Stellenwerte genommen werden.

Nicht-reelle Basen |

Das erste Zahlsystem, das eine komplexe Zahl nicht als zwei separate Ziffernfolgen – je eine für Real- und eine für Imaginärteil – darstellt, sondern eine komplexe Zahl als eine einzige Ziffernfolge, war das von D. Knuth 1955 vorgeschlagene „quater-imaginäre“ System^[16]. Es hat 2i{displaystyle 2mathrm {i} } als Basis und 0, 1, 2, 3 als Ziffern. Dort ist bspw. −1=1032i{displaystyle -1=103_{2mathrm {i} }} und i=10,22i{displaystyle mathrm {i} =10{,}2_{2mathrm {i} }}. Siehe auch den englischsprachigen Artikel en:Quater-imaginary base.

Ein anderes System wurde 1964 von S. Khmelnik vorgeschlagen und für Digitalmaschinerie ausgearbeitet.^[17] Es hat i−1{displaystyle mathrm {i} -1} als Basis und 0, 1 als Ziffern. Bspw. ist −1=11101i−1{displaystyle -1=11101_{mathrm {i} -1}} und i=11i−1{displaystyle mathrm {i} =11_{mathrm {i} -1}}. Siehe auch den englischsprachigen Artikel en:Complex base systems.

p-adische Zahlen |

Die hier vorgestellten Stellenwertsysteme beruhen auf der Konvergenz in Bezug auf die Metrik des gewöhnlichen archimedischen Absolutbetrags. Die unendlichen Reihen – die hier immer, und zwar „rechts“ bei den kleinen Potenzen der Basis (Exponenten ↘−∞{displaystyle searrow -!infty }), konvergieren – sind dann reelle (oder komplexe) Zahlen. Es gibt aber für die rationalen Zahlen auch Metriken, die auf nichtarchimedischen Betragsfunktionen basieren und eine ganz ähnliche Notation mit Basis und Ziffernvorrat gestatten. Die unendlichen Reihen – die auch dort immer, und zwar der Konvention nach „links“ bei den großen Potenzen (Exponenten ↗+∞{displaystyle nearrow +!infty }), konvergieren – sind p-adische Zahlen.

Zwar stimmen endliche p{displaystyle p}-adische Ausdrücke mit derselben Ziffernfolge in (dann ebenfalls endlicher) p=:b{displaystyle p=:b}-adischer Darstellung überein, es gibt aber gravierende Unterschiede zu den ansonsten hier vorgestellten (archimedischen) Systemen. Die wichtigsten sind:

1. Die p{displaystyle p}-adischen Darstellungen sind immer (umkehrbar) eindeutig.


2. Ein Vorzeichen wird nicht benötigt. Die Darstellung von −1{displaystyle -1} als unendliche Summe ist −1=∑i=0∞(p−1)⋅pi{textstyle -1=sum _{i=0}^{infty }(p-1)cdot p^{i}}.
   


3. Ein p{displaystyle p}-adischer Ring kann nicht angeordnet werden.


4. Ist p{displaystyle p} zerlegbar, also keine Primzahl, dann enthält der p{displaystyle p}-adische Ring Zp{displaystyle mathbb {Z} _{p}} Nullteiler (die allesamt nicht-abbrechende Darstellungen haben). Einzelheiten in Proendliche Zahl#10-adische Zahlen.


5. Die nicht-abbrechenden Reihen stellen in beiden Systemen Zahlobjekte mit völlig verschiedenen arithmetischen Eigenschaften dar. Die periodischen unter ihnen stellen in beiden Systemen rationale Zahlen dar.


6. Alle Algorithmen für die Grundrechenarten beginnen rechts bei den kleinen Exponenten (möglicherweise negativ, aber >−∞{displaystyle >-!infty }) und laufen wie die Potenzen und Überträge in die gleiche Richtung nach links zu den großen Exponenten. Wird die Rechnung abgebrochen, kann sofort die Größe des Fehlers angegeben werden.

Weiterführende Texte |

Der Artikel Teilbarkeit erläutert, wie in der Darstellung von Stellenwertsystemen in bestimmten Fällen erkannt werden kann, ob eine Zahl Teiler einer anderen ist. Die Cantorsche Normalform verallgemeinert die Darstellung von Zahlen im Stellenwertsystem auf Ordinalzahlen.

Ein Beispiel zur Anwendung zeigt die Berlin-Uhr.

Literatur |

• 
  Donald Knuth: The Art of Computer Programming. 3. Auflage. Band 2. Addison-Wesley, Boston 1998, ISBN 0-201-89684-2, Positional Number Systems, S. 194–213 (englisch). 
  

Weblinks |

 Wiktionary: Stellenwertsystem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• 
  Online-Umrechner für verschiedene Zahlensysteme (JavaScript)


• Umrechner für die Basen 2, 8, 10 und 16


• "Opas" Stellenwertsystem des Tiroler Volksschullehrers Anton Haag


• Video: Stellenwertsysteme (Teil 1). Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHHD) 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19902.


• Video: Stellenwertsysteme (Teil 2). Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHHD) 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19903.

Einzelnachweise und Anmerkungen |

1. 
   ↑ Der Fall b=1{displaystyle b=1} bedeutet einen nur aus einem einzigen Element bestehenden Ziffernvorrat, so dass als Unterscheidungsmerkmal zwischen zwei Darstellungen nur ihre Länge in Frage kommt. Das führt im besten Fall zum Unärsystem, einem nicht so mächtigen Darstellungssystem, welches nicht als Stellenwertsystem gilt, da die Wertigkeit einer Ziffer unabhängig von ihrer Position immer gleich ist.
   


2. 
   ↑ DIN 1333, Kap. 8
   


3. 
   ↑ ^ab DIN 1333, Zahlenangaben, 1992, Kap. 10.1
   


4. 
   ↑ Interessant sind auch Ziffernsysteme mit negativen Ziffernwerten, insbesondere die balancierten Stellenwertsysteme. Eher exotisch sind die Systeme von David W. Matula (zitiert nach #Knuth1 S. 210f).
   Alle enthalten jedoch die Null, da sonst die Null selbst nicht darstellbar ist und eine abgebrochene Darstellung sich um mehr als den kleinsten Stellenwert von der genauen Zahl unterscheidet.
   


5. 
   ↑ Eine solche Notation mit von links nach rechts absteigender Wertigkeit ist in der Datenverarbeitung im Format Big-Endian beibehalten worden.
   


6. 
   ↑ Im Fall S={p}{displaystyle S={p}} für ein p∈P{displaystyle pin mathbb {P} } ist Z{p}{displaystyle mathbb {Z} _{{p}}} nicht mit dem diskreten Bewertungsring Z(p)=ZS′{displaystyle mathbb {Z} _{(p)}=mathbb {Z} _{S'}} mit S′:=P∖{p}{displaystyle S':=mathbb {P} setminus {p}} zu verwechseln, der auch dicht liegt in Q{displaystyle mathbb {Q} }, dessen eingeprägte Bewertung aber zur völlig anderen Vervollständigung, nämlich den p-adischen Zahlen Zp{displaystyle mathbb {Z} _{p}} führt.
   


7. 
   ↑ Dieses Phänomen tritt bei jeder Basis b∈Z∖{−1,0,1}{displaystyle bin ;mathbb {Z} setminus {-1,0,1}} und jedem „vernünftigen“ Ziffernsystem auf. Für b>0{displaystyle b>0} siehe den Abschnitt #Lexikographische Ordnung, für b<0{displaystyle b<0} den Abschnitt #Negative Basen, jeweils mit Beispielen für Zahlen mit mehrfacher Darstellung.
   


8. 
   ↑ Ganz ähnlich verhält es sich bei der Hilbert-Kurve.
   


9. 
   ↑ Ihr Maß ist 0 und damit auch der Zahlen mit mehrfacher Darstellung.
   


10. 
    ↑ ^abc Levi Leonard Conant: The Number Concept. Etext, Project Gutenberg (englisch)
    


11. 
    ↑ Gleichwohl injektiv, wenn eingeschränkt auf die kleenesche Hülle Σ∗{displaystyle Sigma ^{*}} (Zeichenketten endlicher Länge).
    


12. 
    ↑ Petkovšek p. 408
    


13. 
    ↑ Wie oben bei den Zweierpotenzen kann eine solche Darstellung als „Sonderfall“ einer ab-adischen aufgefasst werden.
    


14. 
    ↑ Ist jeder Position eine eigene Ziffer (oder mehrere) zugeordnet, hat man im Ergebnis ein Additionssystem.
    


15. 
    ↑ An Zyklen der realen Welt angelehnt sind dabei nur Tag, Monat und Jahr (deren Inkommensurabilität mit einem beträchtlichen organisatorischen Aufwand (z. B. durch Einführung eines Schaltjahres) aufgefangen wird). Alle anderen Eigenwilligkeiten der Darstellung sind menschliche, mit einer außerordentlichen Beständigkeit behaftete Artefakte.
    


16. 
    ↑ Donald Knuth: An imaginary number system. In: Communications of the ACM. 3, Nr. 4, April 1960.
    


17. 
    ↑ S.I. Khmelnik: Specialized digital computer for operations with complex numbers. In: Questions of Radio Electronics (in Russian). XII, Nr. 2, 1964.
    

Dieser Artikel wurde am 23. Januar 2006 in dieser Version in die Liste der lesenswerten Artikel aufgenommen.