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Senkrechter Kreiszylinder: Höhe h{displaystyle h}, Radius r{displaystyle r}

Ein Zylinder (lat. cylindrus, altgriechisch κύλινδρος kýlindros, von κυλίνδειν kylíndein ‚rollen‘, ‚wälzen‘) ist im einfachsten Fall eine

• Fläche, deren Punkte von einer festen Gerade, der Achse, denselben Abstand r{displaystyle r} haben.

Da solch eine Fläche unendlich ausgedehnt ist, beschneidet man sie normalerweise mit zwei parallelen Ebenen der Distanz h{displaystyle h} (s. Bild).

• Sind die Schnittebenen senkrecht zur Achse, entsteht ein senkrechter (oder gerader) Kreiszylinder mit Radius r{displaystyle r} und Höhe h{displaystyle h}. Die so beschnittene Fläche heißt Mantelfläche des Zylinders.

Da man sich einen geraden Kreiszylinder auch durch Rotation einer Strecke um die (parallele) Zylinderachse erzeugt denken kann, wird er auch Drehzylinder genannt. Die erzeugenden Strecken nennt man Mantellinien des Zylinders oder auch Erzeugende.

In der Technik versteht man unter einem Zylinder oft den Körper, der von der Mantelfläche und den beiden Schnittkreisflächen eingeschlossen wird.

In der Mathematik definiert man einen Zylinder allgemeiner (siehe Abschnitt allgemeiner Zylinder)

Kreiszylinder |

In der Praxis spielt der senkrechte Kreiszylinder in verschiedenen Variationen eine wichtige Rolle. Deshalb werden hierfür konkrete Formeln angegeben.

Senkrechter Kreiszylinder |

Gerader Kreiszylinder mit abgewickeltem Mantel

Es ergibt sich für

• das Volumen V=πr2h ,{displaystyle V=pi ;r^{2};h ,} (Grundfläche × Höhe)


• die Mantelfläche M=2πrh ,{displaystyle M=2pi r;h ,} (die Abwicklung ist ein Rechteck der Länge 2πr{displaystyle 2pi r} und Höhe h{displaystyle h})


• die Oberfläche O=2πr2+2πrh .{displaystyle O=2pi r^{2}+2pi rh .}
  

Ein gerader Kreiszylinder mit h=2r{displaystyle h=2r} heißt gleichseitiger Zylinder. Diese Bezeichnung erklärt sich wie folgt: Schneidet man einen solchen Zylinder mit einer Ebene, die die Zylinderachse enthält, so erhält man ein Quadrat (mit der Seitenlänge 2r{displaystyle 2r}).

Ist der Querschnitt eine Ellipse mit den Halbachsen a,b{displaystyle a,b}, so ist

• 
  V=πabh .{displaystyle V=pi ab;h .} Für die Mantelfläche gibt es keine einfache Formel.

Hohlzylinder |

Hohlzylinder

Besitzt ein gerader Kreiszylinder eine Bohrung entlang seiner Achse, so spricht man von einem Hohlzylinder.
Für einen Hohlzylinder – etwa ein gerades Rohrstück – sind die bestimmenden Größen neben der Höhe h{displaystyle h} der Außenradius R{displaystyle R} und der Innenradius r{displaystyle r}. Die Wanddicke b ist somit R−r{displaystyle R-r}.

• Das Volumen ist V=πR2h−πr2h=π(R2−r2)h ,{displaystyle V=pi R^{2}h-pi r^{2}h=pi (R^{2}-r^{2});h ,}
  


• die Mantelfläche (innen und außen) M=2π(R+r)h ,{displaystyle M=2pi (R+r);h ,}
  


• die Oberfläche O=2π(R2−r2)+2π(R+r)h=2π(R+r)(R−r+h) .{displaystyle O=2pi (R^{2}-r^{2})+2pi (R+r);h=2pi (R+r)(R-r+h) .}
  

Zylinderabschnitt |

schräg abgeschnittener gerader Kreis-Zylinder

Schneidet man einen geraden Kreiszylinder (Radius r{displaystyle r}) mit einer Ebene schräg ab, entsteht als Schnittkurve eine Ellipse. Hat der untere Zylinderabschnitt die minimale Höhe h1{displaystyle h_{1}} und die maximale Höhe h2{displaystyle h_{2}}, so hat die Schnittellipse

• die große Halbachse a=r2+(h2−h12)2{displaystyle a={sqrt {r^{2}+({tfrac {h_{2}-h_{1}}{2}})^{2}}}} und die kleine Halbachse b=r .{displaystyle b=r .}
  

Die Exzentrizität der Schnittellipse ist sin⁡β{displaystyle sin beta }, wobei β{displaystyle beta } der Neigungswinkel der Schnittebene ist.

• das Volumen V=πr2(h1+h22) ,{displaystyle V=pi r^{2}({tfrac {h_{1}+h_{2}}{2}}) ,}
  


• die Mantelfläche M=2πr(h1+h22)=πr(h1+h2) ,{displaystyle M=2pi r({tfrac {h_{1}+h_{2}}{2}})=pi r(h_{1}+h_{2}) ,}
  


• die Oberfläche O=π(r2+ar)+πr(h1+h2)=πr(r+a+h1+h2) .{displaystyle O=pi (r^{2}+ar)+pi r(h_{1}+h_{2})=pi r(r+a+h_{1}+h_{2}) .}
  

Bemerkung: Das Volumen und die Mantelfläche sind gleich dem des Zylinders mit der mittleren Höhe h1+h22{displaystyle {tfrac {h_{1}+h_{2}}{2}}}.

Volumenberechnung eines liegenden Kreiszylinders (Tank-Problem) |

Teilweise gefüllter liegender Zylinder (Tank)

Die Berechnung des Inhalts V{displaystyle V} eines teilweise gefüllten liegenden Kreiszylinders kann anhand der Länge L{displaystyle L}, des Radius r{displaystyle r} sowie der Füllhöhe h{displaystyle h} vorgenommen werden. Nach der oben angegebenen Gleichung Volumen = Grundfläche · Höhe ergibt sich das Volumen der Füllung durch Multiplikation des Flächeninhalts des Kreissegments mit der Länge L{displaystyle L} des Zylinders:

V=r2L(arccos⁡(r−hr)−(r−h)2rh−h2r2){displaystyle V=r^{2}Lleft(arccos left({frac {r-h}{r}}right)-(r-h){frac {sqrt {2rh-h^{2}}}{r^{2}}}right)}.

Allgemeiner Zylinder |

Definition eines allgemeinen Zylinders und Beispiel schiefer Kreiszylinder

Beispiele von Zylindern: oben Kreis und elliptischer Zylinder, unten: Prismen

In der Mathematik definiert man einen Zylinder(-Mantel) allgemeiner:

• Eine ebene Kurve c0{displaystyle c_{0}} in einer Ebene ε0{displaystyle varepsilon _{0}} wird entlang einer Gerade, die nicht in ε0{displaystyle varepsilon _{0}} enthalten ist, um eine feste Strecke a→{displaystyle {vec {a}}} verschoben. Je zwei sich entsprechenden Punkte der Kurven c0{displaystyle c_{0}} und der verschobenen Kurve c1{displaystyle c_{1}} werden durch eine Strecke verbunden. Die Gesamtheit dieser parallelen Strecken bildet die zugehörige Zylinder-Fläche (siehe Bild). Die Kurve c0{displaystyle c_{0}} nennt man Leitkurve. Eine auf dem Zylinder liegende Gerade heißt Erzeugende oder Mantellinie.

Ist die Kurve ein Kreis entsteht ein schiefer Kreiszylinder. Falls a→⊥ε0{displaystyle {vec {a}}perp varepsilon _{0}} ist, ergibt sich ein senkrechter Kreiszylinder.

Ist c0{displaystyle c_{0}} eine geschlossene Kurve, kann man die Mantelfläche mit den beiden Begrenzungsflächen wieder als Oberfläche eines Körpers auffassen. Ist die Kurve c0{displaystyle c_{0}} nicht geschlossen, z. B. ein Parabelbogen (siehe unten), so ist der Zylinder nur die oben erklärte Mantelfläche, die allerdings Teil einer Oberfläche eines Körpers sein kann.

Die geometrische Besonderheit einer Zylinderfläche besteht in der folgenden Tatsache:

• Eine Zylinderfläche enthält Geraden, sie ist eine Regelfläche, und kann unverzerrt in die Ebene abgewickelt werden.

Insbesondere diese Eigenschaft macht die Zylinderfläche für die Herstellung von Blechverkleidungen interessant.

• Ist die erzeugende Kurve ein Polygon, so spricht man von einem Prisma (siehe Beispiele).

Eigenschaften eines allgemeinen Zylinders |

Schiefer Zylinder: Bezeichnungen

schiefer elliptischer Zylinder in allgemeiner Lage

senkrechter Kreiszylinder in allgemeiner Lage

parabolischer Zylinder

hyperbolischer Zylinder

Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines allgemeinen Zylinders berechnen sich wie folgt:

• 
  Volumen: V=G⋅h ,{displaystyle V=Gcdot h ,} falls c0{displaystyle c_{0}} eine geschlossene Kurve ist,

wobei G{displaystyle G} die Grundfläche (von c0{displaystyle c_{0}} eingeschlossene Fläche) und h{displaystyle h} die Höhe ist (siehe Cavalierisches Prinzip).

Bei einem Prisma lässt sich die Grundfläche G{displaystyle G} entweder direkt (Rechteck) oder durch eine geeignete Zerlegung in Drei- und/oder Rechtecke berechnen (siehe Flächeninhalt). Ist c0{displaystyle c_{0}} eine stückweise glatte Kurve, kann man durch geeignete Integrale direkt oder numerisch den Inhalt bestimmen.

• 
  Mantelfläche: M=U⋅l ,{displaystyle M=Ucdot l ,}
  

wobei U{displaystyle U} der Umfang (Bogenlänge) des Querschnitts c⊥{displaystyle c_{perp }} (Schnittkurve ⊥{displaystyle perp } zu den Mantellinien) und l{displaystyle l} die Länge des Mantels ist (siehe Bild). Man beachte: c⊥{displaystyle c_{perp }} kann man als senkrechte Parallelprojektion der Leitkurve c0{displaystyle c_{0}} auf irgendeine Querschnittsebene (senkrecht zu den Mantellinien) auffassen.

Bei einem senkrechten Zylinder ist l=h{displaystyle l=h} und U{displaystyle U} die Länge der Leitkurve c0{displaystyle c_{0}}.

Bei einem schiefen Zylinder der Höhe h{displaystyle h} ist l=hcos⁡φ ,{displaystyle l={tfrac {h}{cos varphi }} ,} wobei φ{displaystyle varphi } der Winkel der Zylinderachse (Richtung von a→{displaystyle {vec {a}}}) und der Normalen der Ebene ε0{displaystyle varepsilon _{0}} ist. Die Querschnittkurve c⊥{displaystyle c_{perp }} ist im Falle eines schiefen Kreis- oder elliptischen Zylinders eine Ellipse, bei einem Prisma ein Polygon. Der Umfang U{displaystyle U} ist bei einem Polygon einfach die Summe der Kantenlängen, bei einem Kreis 2πr{displaystyle 2pi r}. Bei einer stückweise glatten Leitkurve c0{displaystyle c_{0}} kann man versuchen, die Länge der Querschnittkurve c⊥{displaystyle c_{perp }} mit Hilfe eines Kurvenintegrals zu berechnen. Aber selbst bei einer Ellipse, die kein Kreis ist, ist dies schon ein Problem (siehe elliptisches Integral), das man nur numerisch lösen kann.

• 
  Oberfläche: O=M+2⋅G{displaystyle O=M+2cdot G}, falls c0{displaystyle c_{0}} eine geschlossene Kurve ist.

Analytische Beschreibung |

Die Mantelfläche eines senkrechten Kreiszylinders mit Radius R{displaystyle R} und Höhe h{displaystyle h}, der auf der x-y-Ebene steht und die z-Achse als Achse besitzt, lässt sich durch eine Gleichung in x,y und eine Ungleichung für z beschreiben:

• x2+y2=R2, 0≤z≤h ,{displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, 0leq zleq h ,}

Will man den Vollzylinder beschreiben, muss man R{displaystyle R} durch r{displaystyle r} mit 0≤r≤R{displaystyle 0leq rleq R} ersetzen.

Ersetzt man die Kreisgleichung durch die Gleichung einer Ellipse, erhält man die Beschreibung eines senkrechten elliptischen Zylinders:

• 
  x2a2+y2b2=1,0≤z≤h .{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,quad 0leq zleq h .} Das Volumen ist V=πabh .{displaystyle V=pi ab;h .}
  

Eine Parameterdarstellung eines senkrechten Kreis- bzw. elliptischen Zylinders erhält man, in dem man die übliche Parameterdarstellung eines Kreises bzw. einer Ellipse verwendet:

• x→(φ,z)=(Rcos⁡φ,Rsin⁡φ,z),0≤φ<2π, 0≤z≤h{displaystyle {vec {x}}(varphi ,z)=(Rcos varphi ,Rsin varphi ,z),quad 0leq varphi <2pi , 0leq zleq h}


• x→(φ,z)=(acos⁡φ,bsin⁡φ,z),0≤φ<2π, 0≤z≤h .{displaystyle {vec {x}}(varphi ,z)=(acos varphi ,bsin varphi ,z),quad 0leq varphi <2pi , 0leq zleq h .}

Die Gleichung eines im Raum beliebig gelagerten Zylinders ist schwierig anzugeben.
Die Parameterdarstellung eines beliebigen elliptischen Zylinders dagegen relativ einfach:

• x→(φ,t)=q→0+f→1cos⁡φ+f→2sin⁡φ+f→3t,0≤φ<2π, 0≤t≤1 .{displaystyle {vec {x}}(varphi ,t)={vec {q}}_{0}+{vec {f}}_{1}cos varphi +{vec {f}}_{2}sin varphi +{vec {f}}_{3}t,quad 0leq varphi <2pi , 0leq tleq 1 .}

Dabei ist q→0{displaystyle {vec {q}}_{0}} der Mittelpunkt der Bodenellipse und f→1,f→2,f→3{displaystyle {vec {f}}_{1},{vec {f}}_{2},{vec {f}}_{3}} sind drei linear unabhängige Vektoren. f→3{displaystyle {vec {f}}_{3}} zeigt in Richtung der Zylinderachse (siehe Bild).

Sind die drei Vektoren f→1,f→2,f→3{displaystyle {vec {f}}_{1},{vec {f}}_{2},{vec {f}}_{3}} paarweise orthogonal und ist |f→1|=|f→2|=R{displaystyle |{vec {f}}_{1}|=|{vec {f}}_{2}|=R}, so wird durch die Parameterdarstellung ein senkrechter Kreiszylinder mit Radius R{displaystyle R} und Höhe |f→3|{displaystyle |{vec {f}}_{3}|} beschrieben (siehe Bild).

Dass ein beliebiger elliptischer Zylinder auch immer Kreise enthält wird in Kreisschnittebene gezeigt.

Diese Art von Parameterdarstellung ist sehr flexibel. Z. B. stellt

• x→(s,t)=q→0+f→1s+f→2s2+f→3t,−s0≤s≤s0, 0≤t≤1 .{displaystyle {vec {x}}(s,t)={vec {q}}_{0}+{vec {f}}_{1}s+{vec {f}}_{2}s^{2}+{vec {f}}_{3}t,quad -s_{0}leq sleq s_{0}, 0leq tleq 1 .}

einen parabolischen Zylinder in allgemeiner Lage dar (siehe Bild, Parabel).

Ein senkrechter parabolischer Zylinder lässt sich analog zum senkrechten Kreiszylinder auch durch

• y=ax2, 0≤z≤h ,{displaystyle y=ax^{2}, 0leq zleq h ,}

beschreiben.

Die Parameterdarstellung

• x→(s,t)=q→0±f→1cosh⁡s+f→2sinh⁡s+f→3t,−s0≤s≤s0, 0≤t≤1 .{displaystyle {vec {x}}(s,t)={vec {q}}_{0}pm {vec {f}}_{1}cosh s+{vec {f}}_{2}sinh s+{vec {f}}_{3}t,quad -s_{0}leq sleq s_{0}, 0leq tleq 1 .}

stellt einen hyperbolischen Zylinder in allgemeiner Lage dar (siehe Hyperbel).

Ein senkrechter hyperbolischer Zylinder lässt sich analog zum senkrechten elliptischen Zylinder durch

• x2a2−y2b2=1, 0≤z≤h ,{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1, 0leq zleq h ,}

beschreiben.

Siehe auch |

• Abwicklung (Darstellende Geometrie)


• Quadrik


• Schnittpunkt (Darstellende Geometrie)


• 
  Steinmetz-Körper (Schnitt zweier bzw. dreier Vollzylinder)

Literatur |

• Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Harri-Deutsch-Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 251.


• Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn: Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3, S. 154–157 (Auszug (Google)).

Weblinks |

 Commons: Zylinder (Geometrie) – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

 Wikisource: Meyers Blitz-Lexikon – Quellen und Volltexte

• 
  mathematik.tu-darmstadt.de Hartmann: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie, Uni Darmstadt, S. 99.


• 
  math.kit.edu Renner: Mantelflächen schiefer Körper KIT Karlsruhe


• 
  uni-regensburg.de Rothmeier: Geometrische Körper, Uni Regensburg