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Beim Fixpunktsatz von Lefschetz handelt es sich um einen topologischen Satz, gemäß dem bei bestimmten stetigen Abbildungen die Existenz eines Fixpunkts gesichert ist. Grundlage des von Solomon Lefschetz 1926 bewiesenen^[1] Satzes ist die sogenannte Lefschetz-Zahl, bei der es sich um eine Kenngröße stetiger Abbildungen handelt, die mit Hilfe relativ abstrakter Konzepte der algebraischen Topologie definiert wird und eine Homotopie-Invariante ist.

Eine Verschärfung des Fixpunktsatzes ist die Fixpunktformel von Lefschetz, bei welcher die Lefschetz-Zahl als Summe über Fixpunktindizes ausgedrückt wird. Als Spezialfall des Lefschetz’schen Fixpunktsatzes ergibt sich der Fixpunktsatz von Brouwer und eine weitreichende Verallgemeinerung dieses Satzes ist der Fixpunktsatz von Atiyah und Bott aus dem Bereich der Globalen Analysis.

Lefschetz-Zahl |

Die Lefschetz-Zahl lässt sich für jede stetige Selbstabbildung

f:X→X{displaystyle fcolon Xrightarrow X}

auf einem topologischen Raum X{displaystyle X} definieren, deren sämtliche Betti-Zahlen, das sind die Dimensionen der als Vektorräume aufgefassten singulären Homologie-Gruppen, endlich sind:

Λf:=∑k≥0(−1)kTr(fk|Hk(X,Q)),{displaystyle Lambda _{f}:=sum _{kgeq 0}(-1)^{k}mathrm {Tr} (f_{k}|H_{k}(X,mathbb {Q} )),}

Bei den Summanden der alternierenden Summe handelt es sich um die Spuren der auf den Homologie-Gruppen durch f{displaystyle f} induzierten Homomorphismen fk{displaystyle f_{k}}. Lefschetz-Zahlen sind grundsätzlich ganze Zahlen. Aufgrund ihrer Definition ändern sie sich nicht beim Übergang zu einer homotopen Abbildung.

Die Lefschetz-Zahl zur identischen Abbildung ist gleich der Euler-Charakteristik

χ(X)=Λid.{displaystyle chi (X)=,Lambda _{mathrm {id} }.}

Fixpunktsatz von Lefschetz |

Beispielsweise im Fall, dass der topologische Raum eine endliche Triangulierung K{displaystyle K} besitzt (er ist dann insbesondere kompakt), kann die Lefschetz-Zahl bereits auf dem Niveau des zugeordneten endlichen Ketten-Komplexes C∗(K,Q){displaystyle C_{*}(K,mathbb {Q} )} berechnet werden. Konkret gilt für eine simpliziale Approximation fK{displaystyle f^{K}} der Abbildung f{displaystyle f} die sogenannte Lefschetz-Hopfsche-Spurformel^[2]

Λf=∑k≥0(−1)kTr(fkK|Ck(K,Q)).{displaystyle Lambda _{f}=sum _{kgeq 0}(-1)^{k}mathrm {Tr} (f_{k}^{K}|C_{k}(K,mathbb {Q} )).}

Bei einer fixpunktfreien Selbstabbildung f{displaystyle f}, das heißt einer Abbildung f{displaystyle f} ohne Punkte x{displaystyle x} mit f(x)=x{displaystyle f(x)=x}, kann dann mittels einer genügend verfeinerten Triangulierung Λf=0{displaystyle Lambda _{f}=0} nachgewiesen werden.

Umgekehrt muss damit jede Selbstabbildung f{displaystyle f} mit einer Lefschetz-Zahl Λf≠0{displaystyle Lambda _{f}neq 0} mindestens einen Fixpunkt besitzen. Dies ist die Aussage des Fixpunktsatzes von Lefschetz.

Fixpunktformel von Lefschetz |

Die Lefschetz-Zahl einer Abbildung hängt nur von deren Verhalten in Umgebungen der Fixpunkt-Komponenten ab. Besitzt die Abbildung f{displaystyle f} nur isolierte Fixpunkte, kann die Lefschetz-Zahl durch die Formel

Λf=∑x∈Fix⁡(f)i(f,x){displaystyle Lambda _{f}=sum _{xin operatorname {Fix} (f)}i(f,x)}

ausgedrückt werden. Dabei bezeichnet Fix⁡(f){displaystyle operatorname {Fix} (f)} die endliche Menge der isolierten Fixpunkte und i(f,x){displaystyle i(f,x)} den Fixpunkt-Index zum Fixpunkt x{displaystyle x}.

Der Fixpunkt-Index kann als Multiplizität des betreffenden Fixpunktes aufgefasst werden: Ist x{displaystyle x} ein im Inneren gelegener Fixpunkt eines Polyeders X{displaystyle X}, dann ist sein Fixpunkt-Index i(f,x){displaystyle i(f,x)} gleich dem Abbildungsgrad der auf einer kleinen Sphäre um x{displaystyle x} definierten Abbildung

g(y)=y−f(y)||y−f(y)||.{displaystyle g(y)={frac {y-f(y)}{||y-f(y)||}}.}

Der Fixpunktsatz von Brouwer als Spezialfall |

Da bei der abgeschlossenen n{displaystyle n}-dimensionalen Einheitskugel Dn{displaystyle D^{n}} für alle k≥1{displaystyle kgeq 1} die Homologie-Gruppen Hk(Dn,Q){displaystyle H_{k}(D^{n},mathbf {Q} )} verschwinden, ist die Lefschetz-Zahl jeder Selbstabbildung auf Dn{displaystyle D^{n}} gleich 1. Jede solche Abbildung muss also mindestens einen Fixpunkt besitzen.

Einzelnachweise |

1. 
   ↑ S. Lefschetz: Intersections and transformations of complexes and manifolds, Transactions American Mathematical Society 1926, Bd. 28, S. 1–49 (Online; PDF; 4,3 MB)
   


2. 
   ↑ Heinz Hopf: A new proof of the Lefschetz formula on invariant points, Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, Bd. 14 (1928), S. 149–153 (Online; PDF; 421 kB)
   

Weblinks |

• 
  Algebraische Topologie und Fixpunkte. Einführender Überblicksartikel von Jörg Bewersdorff. (PDF-Datei; 179 kB)

Literatur |

• Robert F. Brown: Fixed Point Theory. In: I. M. James: History of Topology. Elsevier, Amsterdam u. a. 1999, ISBN 0-444-82375-1, S. 271–299.