Geschlecht (Fläche)
Unter dem Geschlecht einer kompakten orientierbaren Fläche versteht man in der Topologie die Anzahl der „Löcher“ (oder der „Henkel“) der Fläche. Die Bezeichnung und die Definition gehen auf Alfred Clebsch zurück.
Das Geschlecht ist eine topologische Invariante. Der Klassifikationssatz für Flächen besagt, dass geschlossene orientierbare Flächen bis auf Homöomorphie durch ihr Geschlecht klassifiziert werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Definition
2 Beispiele
3 Beziehungen zu anderen Größen
4 Literatur
Definition |
Das Geschlecht einer Fläche ist definiert als die maximale Anzahl von möglichen Schnitten entlang disjunkter, einfach geschlossener Kurven, so dass die Fläche nach dem
Schnittvorgang, also nach allen gemachten Schnitten, immer noch zusammenhängend ist.
Beispiele |
Dieser Doppeltorus hat das Geschlecht 2.
Die Kugeloberfläche S2{displaystyle S^{2}} hat das Geschlecht 0, da sie keine Löcher hat, bzw. jeder Schnitt sie in zwei nichtzusammenhängende Teile teilt.
Die Torusfläche hat das Geschlecht 1.
Beziehungen zu anderen Größen |
Die Euler-Charakteristik χ{displaystyle chi } und das Geschlecht g{displaystyle g} hängen für orientierbare, geschlossene Flächen wie folgt zusammen
- χ=2−2g{displaystyle chi =2-2g}
Literatur |
Wladimir G. Boltjanski, Vadim A. Efremovitsch: Anschauliche kombinatorische Topologie. Mit einem Vorwort von S. P. Novikov. Übersetzt aus dem Russischen und mit einem Vorwort von Detlef Seese und Martin Weese (= Mathematische Schülerbücherei. Band 129). Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1986, ISBN 3-326-00008-1.
