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Die Pyramide ist ein geometrischer Körper, genauer ein Polyeder, dessen Grundfläche ein Polygon ist und dessen Seitenflächen Dreiecke sind, die einerseits dem Polygon benachbart sind und die sich andererseits in einem Punkt, der sogenannten Spitze der Pyramide, treffen. Das Polygon heißt auch Grundfläche der Pyramide. Die Dreiecke bilden zusammen die Mantelfläche der Pyramide.

Konstruktion |

Von einem ausgezeichneten Punkt, der Pyramidenspitze, geht ein Strahlenbüschel aus, dessen Strahlen eine Ebene in den Eckpunkten der Grundfläche der Pyramide schneiden. Mit vier Strahlen einer bestimmten Neigung im Raum erhält man beispielsweise eine quadratische Grundfläche und bildet so die Quadratpyramide. Man kann die Konstruktion auch mit einer beliebigen Grundfläche eines Vielecks (Polygons) der Ebene beginnen und einen Punkt außerhalb dieser Ebene wählen, der dann die Pyramidenspitze wird. Indem man jeden Eckpunkt der Grundfläche mit der Spitze verbindet, entsteht das erwähnte Strahlenbüschel. Die Punkte jeder einzelnen Grundflächenkante sind über die Dreiecksfläche mit der Pyramidenspitze verbunden. Damit erfüllt die Pyramide auch die Definition eines Kegels.

Eigenschaften |

Hat die Grundfläche einer Pyramide n{displaystyle n} Ecken, so ist die Anzahl der (dreieckigen) Seitenflächen ebenfalls gleich n.{displaystyle n.} Zusammen mit der Grundfläche hat die Pyramide dann insgesamt n+1{displaystyle n+1} Flächen. Die Zahl der Ecken ist ebenfalls n+1,{displaystyle n+1,} nämlich n{displaystyle n} Ecken in der Grundfläche zuzüglich der Spitze. Kanten enthält die Grundfläche n;{displaystyle n;} zusammen mit den ebenso vielen Seitenlinien des Strahlenbüschels, die die Ecken der Grundfläche mit der Pyramidenspitze verbinden, hat die Pyramide insgesamt also 2n{displaystyle 2n} Kanten. Diese Zählung bestätigt für den Fall der Pyramide den eulerschen Polyedersatz über die Anzahlen von Ecken (e),{displaystyle (e),} Flächen (f){displaystyle (f)} und Kanten (k){displaystyle (k)} eines Polyeders:

e+f−k=(n+1)+(n+1)−2n=2n+2−2n=2{displaystyle e+f-k=(n+1)+(n+1)-2n=2n+2-2n=2}

Für die Berechnung des Pyramidenvolumens (siehe weiter unten) ist der Begriff der Höhe einer Pyramide von Bedeutung. Man versteht darunter den (kürzesten) Abstand der Pyramidenspitze von der Ebene, in der die Grundfläche liegt.

Der Schwerpunkt einer Pyramide liegt auf der Verbindungsstrecke zwischen dem Schwerpunkt der Grundfläche und der Pyramidenspitze. Er teilt diese Strecke im Verhältnis 1:3 und hat daher den Abstand 14h{displaystyle {tfrac {1}{4}}h} von der Grundfläche.

Besondere Pyramiden und Abgrenzungen |

Regelmäßige (reguläre) Pyramide |

Eine Pyramide, deren Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist und deren drei Seitenflächen zur Grundfläche kongruente Dreiecke sind, nennt man (regelmäßiges) Tetraeder (Vierflächner).

Eine Pyramide, deren Grundfläche ein Quadrat ist und deren Pyramidenspitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt, heißt quadratische Pyramide.

Tetraeder und quadratische Pyramide sind sogenannte regelmäßige oder reguläre Pyramiden. Von einer regelmäßigen oder regulären Pyramide spricht man, wenn die Grundfläche der Pyramide ein regelmäßiges Polygon ist und der Mittelpunkt dieses Polygons zugleich der Fußpunkt der Pyramidenhöhe ist. Jede regelmäßige Pyramide ist daher auch gerade (Definition siehe weiter unten).

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  Tetraeder
  

  
  

  
  


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  Quadratische Pyramide
  

  
  

  
  


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  Regelmäßige fünfseitige Pyramide
  

  
  

  
  


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  Regelmäßige sechsseitige Pyramide
  

  
  

  
  

Gerade Pyramide |

Gerade Pyramide

Eine Pyramide mit einem regelmäßigen Vieleck (Polygon) als Grundfläche heißt gerade, wenn die Grundfläche einen Mittelpunkt M{displaystyle M} besitzt, alle Seitenkanten (d. h. alle Kanten, die von der Spitze ausgehen) gleich lang sind, die Verbindungsstrecke zwischen M{displaystyle M} und der Spitze S{displaystyle S} senkrecht zur Grundfläche der Pyramide verläuft und damit der Fußpunkt des Lotes von der Spitze S{displaystyle S} mit dem Mittelpunkt M{displaystyle M} der Grundfläche identisch ist, also insbesondere im Inneren der Grundfläche liegt.

Ist die Grundfläche kein regelmäßiges, aber wenigstens ein punktsymmetrisches Polygon, so kann auch noch von einer geraden Pyramide gesprochen werden, falls das Symmetriezentrum dieses Polygons mit dem Höhenfußpunkt der Pyramide zusammenfällt. Die Seitenkanten können dann allerdings verschiedene Längen aufweisen.

Ist die Grundfläche einer Pyramide weder ein regelmäßiges noch ein punktsymmetrisches Polygon, dann hat der Begriff gerade keine sinnvolle Bedeutung mehr: Ist die Grundfläche beispielsweise ein beliebiges Dreieck, so muss die Spitze der Pyramide senkrecht über seinem Umkreismittelpunkt liegen, damit alle Seitenkanten gleich lang sind. Ist dieses Dreieck weiter stumpfwinklig, dann liegt der Lotfußpunkt der Spitze sogar außerhalb der Grundfläche – was der (anschaulichen) Bedeutung von gerade widerspricht.

Schiefe Pyramide

Schiefe Pyramide |

Eine Pyramide mit einem regelmäßigen Vieleck (Polygon) als Grundfläche heißt schief, wenn nicht alle Seitenkanten gleich lang sind, sich der Fußpunkt des Lotes von der Spitze S{displaystyle S} nicht im Mittelpunkt M{displaystyle M} der Grundfläche befindet und daher die Verbindungsstrecke von M{displaystyle M} und S{displaystyle S} nicht senkrecht zur Grundfläche der Pyramide verläuft. Bei einer schiefen Pyramide kann sich daher der Fußpunkt des Lotes von der Spitze S{displaystyle S} sowohl innerhalb als auch außerhalb der Pyramidengrundfläche befinden.

Johnson-Körper J₁ und J₂ |

Eine Quadratpyramide, deren vier dreieckige Seitenflächen gleichseitig sind, ist der einfachste Johnson-Körper, abgekürzt mit J₁. Die regelmäßige fünfseitige Pyramide, deren fünf dreieckige Seitenflächen gleichseitig sind, ist der Johnson-Körper J₂.

Mantelfläche und Oberfläche einer quadratischen Pyramide |

Oberfläche einer quadratischen Pyramide als Körpernetz

Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide besteht aus der quadratischen Grundfläche G{displaystyle G} und dem Mantelfläche M.{displaystyle M.}

Ist die Seitenlänge a{displaystyle a} des Quadrats gegeben, ergibt sich wegen G=a2{displaystyle G=a^{2}}:

O=a2+M{displaystyle O=a^{2}+M}

Bei einer regelmäßigen Pyramide mit quadratischer Grundfläche setzt sich die Mantelfläche aus vier Flächen kongruenter gleichschenkliger Dreiecke zusammen.

Es seien die Seitenlänge a{displaystyle a} und die Pyramidenhöhe h{displaystyle h} gegeben:

Die Fläche eines dieser Dreiecke ist AD=12haa{displaystyle A_{D}={tfrac {1}{2}},h_{a},a}, aller vier Flächen also M=4 12haa{displaystyle M=4 {tfrac {1}{2}},h_{a},a} oder nach Umformung M=2 ha a.{displaystyle M=2 h_{a} a.}

Hierbei ist ha{displaystyle h_{a}} die Höhe der kongruenten Seitendreiecke.

Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich ha2=h2+(a2)2.{displaystyle {h_{a}}^{2}=h^{2}+({tfrac {a}{2}})^{2}.}

Daraus folgt ha=h2+(a2)2{displaystyle h_{a}={sqrt {h^{2}+({tfrac {a}{2}})^{2}}}} und damit für die Mantelfläche M=2ah2+(a2)2{displaystyle M=2a{sqrt {h^{2}+({tfrac {a}{2}})^{2}}}} oder nach Umformung M=a4 h2+a2.{displaystyle M=a{sqrt {4 h^{2}+a^{2}}}.}

Die gesamte Oberfläche beträgt somit O=a2+a4 h2+a2.{displaystyle O=a^{2}+a{sqrt {4 h^{2}+a^{2}}}.}

Steilkantenlänge einer quadratischen Pyramide |

Neben den vier Grundflächenkanten a{displaystyle a} besitzt die quadratische Pyramide noch vier gleich lange Steilkanten (auch Grate genannt) AS,BS,CS{displaystyle AS,BS,CS} und DS,{displaystyle DS,} die von den Eckpunkten der Grundfläche ausgehen und nach oben ansteigend sich in der Pyramidenspitze S{displaystyle S} treffen.

Es seien die Seitenlänge a{displaystyle a} und die Pyramidenhöhe h{displaystyle h} gegeben:

Für die Länge der Grundflächendiagonale d{displaystyle d} ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras d2=a2+a2,{displaystyle d^{2}=a^{2}+a^{2},} woraus d=2a2=a2{displaystyle d={sqrt {2a^{2}}}=a{sqrt {2}}} folgt.

Für die weitere Berechnung benötigt man d2=a22{displaystyle {tfrac {d}{2}}={tfrac {a}{2}}{sqrt {2}}} und das Quadrat davon ist a22.{displaystyle {tfrac {a^{2}}{2}}.}

Zur Berechnung von AS{displaystyle AS} verwendet man wieder den Satz des Pythagoras: AS2=h2+a22{displaystyle {AS}^{2}=h^{2}+{tfrac {a^{2}}{2}}} und daraus folgt dann für den Grat AS=h2+a22.{displaystyle AS={sqrt {h^{2}+{tfrac {a^{2}}{2}}}}.}

Gesamtkantenlänge einer quadratischen Pyramide |

Die Gesamtkantenlänge K{displaystyle K} der quadratischen Pyramide setzt sich aus den vier Seitenlängen a{displaystyle a} und den vier gleich langen Graten AS,BS,CS{displaystyle AS,BS,CS} und DS{displaystyle DS} zusammen. Es seien wieder die Seitenlänge a{displaystyle a} und die Pyramidenhöhe h{displaystyle h} gegeben:

K=4 a+4h2+a22{displaystyle K=4 a+4{sqrt {h^{2}+{frac {a^{2}}{2}}}}}

K=4(a+h2+a22){displaystyle K=4left(a+{sqrt {h^{2}+{frac {a^{2}}{2}}}}right)}

Volumen |

Das Volumen V{displaystyle V} einer Pyramide errechnet sich aus dem Inhalt der Grundfläche G{displaystyle G} und der Höhe h{displaystyle h} gemäß

V=13⋅G⋅h.{displaystyle V={frac {1}{3}}cdot Gcdot h.}

Diese Formel gilt für jede Pyramide. Es spielt also keine Rolle, ob die Grundfläche ein Dreieck, Viereck, Fünfeck, … ist. Die Formel ist auch gültig, wenn der Höhenfußpunkt nicht mit dem Grundflächenmittelpunkt übereinstimmt oder die Grundfläche gar keinen Mittelpunkt besitzt. Im Spezialfall einer quadratischen Pyramide ergibt sich V=13⋅a2⋅h{displaystyle V={frac {1}{3}}cdot a^{2}cdot h}, wobei a{displaystyle a} die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche ist und h{displaystyle h} die Höhe.

Die allgemeingültige Formel V=13⋅G⋅h{displaystyle V={frac {1}{3}}cdot Gcdot h} entspricht übrigens der Volumenformel V=13⋅π⋅r2⋅h{displaystyle V={frac {1}{3}}cdot pi cdot r^{2}cdot h} für einen Kreiskegel. Dies liegt daran, dass jede Pyramide die Definition eines allgemeinen Kegels erfüllt. Umgekehrt kann ein Kegel auch als Pyramide mit einem regelmäßigen n{displaystyle n}-Eck als Grundfläche aufgefasst werden, das nach dem Grenzübergang n→∞{displaystyle nto infty } zu einem Kreis entartet ist.

Berechnung mit Hilfe des Spatprodukts |

Eine von den Vektoren a→{displaystyle {vec {a}}}, b→{displaystyle {vec {b}}}, c→{displaystyle {vec {c}}} aufgespannte dreiseitige Pyramide hat das Volumen

V=16|(a→×b→)⋅c→|{displaystyle V={frac {1}{6}}|({vec {a}}times {vec {b}})cdot {vec {c}}|}.

Elementargeometrische Begründung |

Die erwähnte Volumenformel lässt sich elementargeometrisch in vier Schritten begründen:

• 1. Ein Würfel kann in drei gleiche Pyramiden mit quadratischer Grundfläche zerlegt werden, deren Spitzen in einer Ecke des Würfels zusammenfallen. Die drei Grundflächen sind die drei Seitenflächen des Würfels, die diese gemeinsame Spitze nicht enthalten.

• 2. Zwei Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe stimmen im Volumen überein.

Zum Beweis dieser Aussage kann man das Prinzip von Cavalieri und die Gesetze der zentrischen Streckung heranziehen.

• 3. Für Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche gilt die Volumenformel V=13⋅G⋅h{displaystyle V={frac {1}{3}}cdot Gcdot h}.

Diese Behauptung ergibt sich aus der Möglichkeit, ein gerades Dreiecksprisma mit der Grundfläche G{displaystyle G} und der Höhe h{displaystyle h} in drei Dreieckspyramiden gleichen Volumens zu zerlegen.

• 4. Die Volumenformel gilt für jede beliebige Pyramide.

Zu einer gegebenen Pyramide gibt es eine Dreieckspyramide mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, die nach 2. das gleiche Volumen besitzt. Da nach 3. die Volumenformel für die Dreieckspyramide richtig ist, muss diese Formel auch für die ursprüngliche Pyramide gelten.

Begründung mit Hilfe der Integralrechnung |

Der Rauminhalt einer Pyramide mit der Grundfläche G{displaystyle G} und Höhe h{displaystyle h} kann berechnet werden, wenn man sich die Pyramide aus dünnen (infinitesimalen) Schichten der Dicke dy{displaystyle mathrm {d} y} parallel zur Grundfläche aufgebaut vorstellt. Eine y{displaystyle y}-Achse lege man nun durch die Spitze der Pyramide, sodass die Höhe h{displaystyle h} mit der y{displaystyle y}-Achse zusammenfällt. Bezeichnet man die Fläche der Schicht im Abstand y{displaystyle y} von der Spitze mit A(y){displaystyle A(y)}, so kann man aus den Gesetzen der zentrischen Streckung eine Formel für A(y){displaystyle A(y)} herleiten:

A(y):G=y2:h2{displaystyle A(y):G=y^{2}:h^{2}}

A(y)=Gh2y2{displaystyle A(y)={frac {G}{h^{2}}}y^{2}}

Daraus ergibt sich das Volumen der Pyramide durch Integration von y=0{displaystyle y=0} bis y=h{displaystyle y=h} nach dem Prinzip von Cavalieri:

V=∫0hA(y)dy=∫0hGh2y2dy=Gh2∫0hy2dy=Gh2⋅13[y3]0h=Gh2⋅13[h3−0]=13G⋅h{displaystyle V=int _{0}^{h}A(y),mathrm {d} y=int _{0}^{h}{frac {G}{h^{2}}}y^{2},mathrm {d} y={frac {G}{h^{2}}}int _{0}^{h}y^{2},mathrm {d} y={frac {G}{h^{2}}}cdot {frac {1}{3}}left[y^{3}right]_{0}^{h}={frac {G}{h^{2}}}cdot {frac {1}{3}}left[h^{3}-0right]={frac {1}{3}}Gcdot h}

Volumen quadratischer Pyramiden als Extremwert |

Papiermodell einer quadratischen Pyramide mit maximalem Volumen

Die Kugel ist ein Körper, dessen Volumen bei gegebener Oberfläche maximal ist, d. h. jede Änderung der äußeren Form würde ein kleineres Volumen ergeben. Analog haben der Würfel, das regelmäßige Tetraeder sowie das regelmäßige Oktaeder das größte Volumen unter allen Polyedern mit derselben Oberfläche und derselben Eckenzahl.

Eine quadratische Pyramide mit maximalem Rauminhalt ist hingegen vergleichsweise spitz: unter allen quadratischen Pyramiden mit derselben Oberfläche hat diejenige das größte Volumen, die h=a⋅2{displaystyle h=acdot {sqrt {2}}} hoch ist (wenn a{displaystyle a} die Länge ihrer Grundseite bezeichnet). Ihr Volumen ist V=13⋅a32{displaystyle V={frac {1}{3}}cdot a^{3}{sqrt {2}}}, die Dreiecke ihrer Mantelfläche sind 32⋅a{displaystyle {frac {3}{2}}cdot a} hoch.

Vermessung eines Pyramidenbauwerks |

Betrachtung aus der Entfernung und Sehwinkelbestimmung in vereinfachter Form

Bei einer großen Pyramide lassen sich die Kantenlängen der Basis direkt gut vermessen, jedoch nicht die Höhe, die nicht direkt zugänglich ist. Im Folgenden sollen die grundsätzlichen Schwierigkeiten dargelegt werden, die nicht so sehr mit der Methodik des Messverfahrens selbst zusammenhängen. Ein einfaches geometrisches Verfahren zur Höhenbestimmung größerer Objekte ist die Betrachtung aus der Entfernung und die Bestimmung des Sehwinkels (in vereinfachter Form durch die nebenstehende Grafik aufgezeigt).

In einem Abstand s{displaystyle s} von der unteren Pyramidenkante wird die Spitze der Pyramide unter dem gemessenen Winkel α{displaystyle alpha } angepeilt. Der Abstand des Beobachtungspunktes von der Pyramidenspitze in horizontaler Linie ist somit die halbe Grundseite a/2+s{displaystyle a/2+s}. Die Höhe h{displaystyle h} ergibt sich aus der Formel in der Grafik. Damit wäre die Bestimmung der Höhe kein großes Problem. Es gibt jedoch folgende Schwierigkeiten:

• Die Spitze der Pyramide liegt nicht unbedingt exakt über dem Mittelpunkt der Grundfläche.


• Die Länge der Basiskante der Pyramide ist nicht sauber bestimmbar (abgebrochene Steine, Erosion).


• Die Spitze ist nicht mehr vorhanden (abgetragen).


• Der Neigungswinkel der Pyramide ist schwer bestimmbar (Abtragung, Erosion).

Das entspricht bei den bekannten großen Pyramiden weitgehend der Realität. Die Höhenabweichung des Beobachtungspunktes, an dem α{displaystyle alpha } gemessen wird, muss genau berücksichtigt werden. Die Winkelmessung selbst kann in der Regel sehr präzise ausgeführt werden. Darüber hinaus muss definiert werden, von welchem Bodenniveau aus die Höhe der Pyramide gültig sein soll, also wo sie tatsächlich anfangen soll. Angenommen, die Basislänge a{displaystyle a} der Pyramide ließe sich nicht genauer als auf 30 cm und damit die Entfernung a/2+s{displaystyle a/2+s} zum Messpunkt nicht genauer als auf 15 cm bestimmen. Dadurch würde bei einem Sehwinkel α{displaystyle alpha } von angenommenen 35° die Höhe um den Betrag von etwa 10 cm ungenau sein. Es fehlt jetzt aber noch die Bestimmung des Neigungswinkels β{displaystyle beta } über die Seitenfläche. Eine hypothetische große Pyramide der Basislänge von 200 m und einer Höhe von 140 m hätte bei einer Ungenauigkeit der Höhenangabe von 10 cm eine Ungenauigkeit der Neigungswinkelangabe von etwa einer Bogenminute (54°27′44″ bei h=140,0m{displaystyle h=140{,}0,mathrm {m} } gegenüber 54°26′34″ mith=139,9m{displaystyle h=139{,}9,mathrm {m} }). Das gilt nun für Pyramiden, deren Spitze noch vorhanden ist. Die Realität sieht aber anders aus. Die Höhenbestimmung gibt also nicht die ursprüngliche Höhe wieder, sondern die Höhe der abgetragenen Pyramide.

Problem bei Extrapolation

Die Spitze muss also extrapoliert werden. Das nebenstehende Bild zeigt schematisch das Problem. Sowohl die Seitenflächen als auch die Spitze sind durch Abriss und Verwitterung deutlich abgetragen:

Die Höhe h{displaystyle h} wäre daher gemäß der Formel aus der direkten Bestimmung des Neigungswinkels β{displaystyle beta } zugänglich. Wie ersichtlich, ist die Bestimmung mit großen Fehlern behaftet. Eine Ausnahme bildet die Chephren-Pyramide, weil diese im oberen Teil noch die originalen Decksteine hat. Der Winkel β{displaystyle beta } ist dadurch genauer bestimmbar als bei den anderen Pyramiden. Das erklärt die gute Übereinstimmung hinsichtlich des Neigungswinkels der verschiedenen Autoren.

Damit wird klar, dass bei realen Pyramiden weder die Höhe auf den Zentimeter noch der Neigungswinkel auf die Bogensekunde exakt angegeben werden kann.

Verwandte Begriffe |

Verwandte Formen in der Geometrie sind der Pyramidenstumpf (eine parallel zur Grundfläche „abgeschnittene“ Pyramide) und die Doppelpyramide (ein Polyeder aus zwei spiegelsymmetrischen Pyramiden mit derselben Grundfläche).

Eine Hyperpyramide ist eine Verallgemeinerung auf n{displaystyle n} Dimensionen. Die in diesem Artikel beschriebene Pyramide ist eine dreidimensionale Hyperpyramide. Eine zweidimensionale Hyperpyramide wäre ein Dreieck, eine vierdimensionale ein Pentachoron.

Mit der Pyramide in der Architektur befasst sich der Artikel Pyramide (Bauwerk).

Weblinks |

 Commons: Pyramids (geometry) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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  Eric W. Weisstein: Pyramid. In: MathWorld (englisch).